2016/1 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap D.

Üç sayıyı karşılaştırmak için hepsini ortak bir çarpana bölmek en pratik yoldur. Her üç çarpımda da en az 5!·8! bulunur; pozitif bir sayıya bölmek sıralamayı değiştirmez.

a / (5!·8!) = 10!/8! = 10·9 = 90

b / (5!·8!) = 6!/5! = 6

c / (5!·8!) = (7!/5!)·(9!/8!) = (7·6)·9 = 42·9 = 378

Böylece 6 < 90 < 378, yani b < a < c elde edilir.

Kontrol: b = 720·40320 ≈ 2,9·10⁷; a = 120·3628800 ≈ 4,35·10⁸; c = 5040·362880 ≈ 1,83·10⁹. Sıralama aynıdır.

Tuzak: faktöriyelde büyük sayının (10!) tek başına belirleyici olduğunu düşünüp a'yı en büyük seçmek; c'deki iki çarpanın birlikte daha hızlı büyüdüğü gözden kaçmamalıdır.

Doğru cevap A.

3'ün kuvvetlerinin birler basamağı 4'lü bir döngü izler:

3¹ = 3 → 3 3² = 9 → 9 3³ = 27 → 7 3⁴ = 81 → 1 3⁵ = 243 → yine 3 ile başa döner.

Döngü uzunluğu 4 olduğundan üssü 4'e böleriz: 2016 ÷ 4 = 504, kalan 0. Kalanın 0 olması, döngünün son elemanına, yani 3⁴'ün birler basamağına karşılık gelir.

Dolayısıyla 3²⁰¹⁶ = (3⁴)⁵⁰⁴ = 81⁵⁰⁴ ve 1 ile biten bir sayının her kuvveti de 1 ile biter. Birler basamağı 1'dir.

Tuzak: kalan 0 çıktığında döngünün ilk elemanını (3) almak; kalan 0, döngünün dördüncü elemanı demektir.

Doğru cevap C.

İki vektörün birbirine dik olması için iç (skaler) çarpımlarının sıfır olması gerekir. u⃗ = (u₁, u₂) ve v⃗ = (v₁, v₂) için iç çarpım u₁·v₁ + u₂·v₂'dir.

u⃗ · v⃗ = 1·(2a) + (a + 3)·4 = 2a + 4a + 12 = 6a + 12

Diklik koşulu: 6a + 12 = 0 → 6a = −12 → a = −2.

Kontrol: a = −2 için u⃗ = (1, 1) ve v⃗ = (−4, 4) olur. İç çarpım 1·(−4) + 1·4 = 0; vektörler gerçekten diktir.

Tuzak: diklik yerine paralellik koşulunu (bileşenlerin orantılı olması, 1/(2a) = (a+3)/4) kullanmak farklı bir denklem verir; dik vektörlerde iç çarpım sıfırlanır.

Doğru cevap A.

Bu bir tekrarlı permütasyon sorusudur. ANKARA sözcüğü 6 harften oluşur ve bu harflerin bazıları tekrar eder:

• A harfi 3 kez,
• N, K, R harfleri birer kez geçer.

Tüm harfler farklı olsaydı dizilişlerin sayısı 6! = 720 olurdu. Ancak üç A harfi kendi aralarında yer değiştirdiğinde yeni bir sözcük oluşmaz; her farklı sözcük 3! = 6 kez sayılmış olur. Bu yüzden tekrar eden harflerin faktöriyeline bölünür:

6! / 3! = 720 / 6 = 120

Yani 6 harfli 120 farklı sözcük yazılabilir.

Yaygın tuzak, tekrar eden harfleri hesaba katmadan doğrudan 6! = 720 (E şıkkı) cevabını vermektir. Ayrıca yalnız iki harf tekrar ediyormuş gibi 6!/2! = 360 (D şıkkı) hesaplamak da sık yapılan bir karıştırmadır; ANKARA'da A harfi üç kez geçer.

Doğru cevap A.

1. adım – Kesri yalnız bırak: 2 − 2x/(x² − 3) = 1 ise 2x/(x² − 3) = 1 olur.

2. adım – İçler dışlar çarpımı: 2x = x² − 3 → x² − 2x − 3 = 0

3. adım – Çarpanlara ayır: (x − 3)(x + 1) = 0 → x = 3 veya x = −1

4. adım – Tanım kümesini kontrol et: Payda x² − 3 sıfır olmamalıdır. x = 3 için payda 9 − 3 = 6, x = −1 için payda 1 − 3 = −2 olur; ikisi de geçerlidir.

5. adım – Toplam: 3 + (−1) = 2

Kısa yol: x² − 2x − 3 = 0 denkleminde kökler toplamı −b/a = 2'dir; ancak bu kısa yol kullanılırken kökler paydayı sıfır yapıyor mu diye kontrol etmek şarttır. Paydayı sıfır yapan bir kök çıksaydı toplamdan düşülmesi gerekirdi.

Doğru cevap E.

Kök ifadesinden kurtulmak için √a = t diyelim (t > 0). Bu durumda a = t² olur ve verilen eşitlik:

t² − t = 11

İstenen ifade: a − 11/√a = t² − 11/t.

Burada 11 yerine eşdeğeri olan t² − t yazılır:

11/t = (t² − t)/t = t − 1

Böylece:

t² − 11/t = t² − (t − 1) = t² − t + 1

t² − t = 11 olduğundan sonuç 11 + 1 = 12 bulunur.

Kontrol olarak t'yi açıkça hesaplamaya gerek yoktur; t² − t − 11 = 0 denkleminin pozitif kökü için ifade her zaman 12'dir.

Tuzak: t'yi ikinci derece denklemden köklü biçimde bulup yerine koymaya çalışmak işlemi gereksiz uzatır; 11'i t² − t ile değiştirmek en kısa yoldur.

Doğru cevap A.

Akıntılı suda hareket eden bir aracın hızı, akıntının yönüne göre değişir:

• Akıntıya karşı hız: 60 − 5 = 55 km/saat
• Akıntı yönünde hız: 60 + 5 = 65 km/saat

Motor her iki durumda da aynı yolu gittiği için yol = hız × zaman eşitliği kurulur:

55 · (t + 2) = 65 · t 55t + 110 = 65t 10t = 110 t = 11

Kontrol: Akıntıya karşı 55 · 13 = 715 km, akıntı yönünde 65 · 11 = 715 km; iki yol eşittir.

Yaygın tuzak, akıntıya karşı giderken daha uzun süre (t + 2) harcandığını gözden kaçırıp süreleri ters eşleştirmektir. Yavaş giden (55 km/saat) araç aynı yolu daha uzun sürede alır; bu mantık kontrolü süre eşleştirmesini doğrulamaya yeter.

Doğru cevap E.

Bir karışımda bir maddenin yüzdesi, o maddenin miktarının toplam miktara oranının 100 ile çarpımıdır.

• Toplam karışım: x + y kg
• Un miktarı: y kg

Unun oranı: y/(x + y) Unun yüzdesi: 100y/(x + y)

Örnekle kontrol: 3 kg tuz ve 7 kg un karıştırılırsa toplam 10 kg olur, un 7/10 = %70'tir. Formül de 100 · 7/(3 + 7) = 70 verir.

Yaygın tuzak, un yerine tuzun miktarını paya yazarak 100x/(x + y) (A şıkkı) cevabını seçmektir; bu ifade karışımdaki tuzun yüzdesini verir. Soruda hangi maddenin sorulduğuna dikkat etmek gerekir.