2025/3 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap A.

İki koşulun birlikte sağlanması gerekir.

1. Karekökün içi negatif olmamalı: 9 − x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 9 ⇒ −3 ≤ x ≤ 3

2. Payda sıfır olmamalı: x² + x − 12 = (x + 4)(x − 3) ≠ 0 ⇒ x ≠ −4 ve x ≠ 3

Kesişim: [−3, 3] aralığından x = 3 çıkarılır (x = −4 zaten aralığın dışındadır):

Tanım kümesi = [−3, 3)

x = −3'te pay √0 = 0, payda 9 − 3 − 12 = −6 ≠ 0 olduğundan fonksiyon tanımlıdır ve kapalı uç olarak kalır.

Tuzak: kökün içini sıfırdan kesin büyük alıp (−3, 3) yazmak (bu seçenek yok) ya da paydanın kökü −4'ü sınır olarak kullanıp (−4, 3) seçmek; −4 kök koşulunu zaten sağlamaz.

Doğru cevap D.

1. Birinci terim: Üs, logaritmanın önüne katsayı olarak iner: log₅ x³ = 3 log₅ x

2. İkinci terim: Taban 1/5 = 5⁻¹ olduğundan: log₁/₅ x = log₅ x / log₅ (1/5) = log₅ x / (−1) = −log₅ x

3. Denklem: 3 log₅ x − log₅ x = 6 ⇒ 2 log₅ x = 6 ⇒ log₅ x = 3

4. Sonuç: x = 5³ = 125

Kontrol: log₅ 125³ = log₅ 5⁹ = 9; log₁/₅ 125 = −3; 9 − 3 = 6 ✓.

Tuzak: log₁/₅ x'i +log₅ x gibi almak 4 log₅ x = 6 ⇒ log₅ x = 3/2 verir ve seçeneklerde karşılığı olmayan x = 5√5 çıkar. Tabanın 1'den küçük olması logaritmanın işaretini tersine çevirir.

Doğru cevap D.

x = 2 yazıldığında pay 2·4 − 6 − 2 = 0 ve payda 0 olur; 0/0 belirsizliği vardır. Bu, payın (x − 2) çarpanını içerdiğini gösterir.

Çarpanlara ayırma: 2x² − 3x − 2 = (2x + 1)(x − 2)

(Kontrol: (2x + 1)(x − 2) = 2x² − 4x + x − 2 = 2x² − 3x − 2 ✓.)

Sadeleştirme (x ≠ 2 için): (2x + 1)(x − 2)/(x − 2) = 2x + 1

Limit: lim (x→2) (2x + 1) = 2·2 + 1 = 5

L'Hôpital ile de: pay türevi 4x − 3 → 5, payda türevi 1; sonuç 5.

Tuzak: 0/0 görünce sonucu 0 ya da ∞ sanmak. 0/0 bir belirsizliktir; sadeleştirme yapılmadan sonuç hakkında karar verilemez.

Doğru cevap E.

1. b'nin bulunması: Tanım kümesi ℝ\{−2} olduğuna göre payda x = −2'de sıfır olmalıdır (fonksiyonun tanımsız olduğu tek nokta budur):

(−2)³ + 2(−2)² + 2(−2) + b = −8 + 8 − 4 + b = 0 ⇒ b = 4

Doğrulama: x³ + 2x² + 2x + 4 = x²(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x² + 2). x² + 2 hiç sıfır olmadığından payda yalnızca x = −2'de sıfırdır; tanım kümesiyle tutarlıdır.

2. a'nın bulunması: f(1) = (a + 5)/(1 + 2 + 2 + 4) = (a + 5)/9 = 1 ⇒ a + 5 = 9 ⇒ a = 4

3. Sonuç: a + b = 4 + 4 = 8

Tuzak: tanım kümesindeki {−2} bilgisini kullanmadan yalnız f(1) = 1 denkleminden iki bilinmeyen bulmaya çalışmak; b ancak paydanın −2'de sıfırlanması koşulundan elde edilir.

Doğru cevap C.

Birinci kesir:

• Pay: 3 + 1/2 = 7/2
• Payda: 1 − 1/4 = 3/4
• Bölüm: (7/2)/(3/4) = (7/2) · (4/3) = 28/6 = 14/3

İkinci kesir: 1/(3/2) = 2/3

Çıkarma: 14/3 − 2/3 = 12/3 = 4

Kısa yol: birinci kesrin pay ve paydasını 4 ile genişletirsek (12 + 2)/(4 − 1) = 14/3 doğrudan bulunur; iki kesrin paydası da 3 olduğundan çıkarma kolaylaşır.

Tuzak: (7/2)/(3/4) bölmesinde ikinci kesri ters çevirmeyi unutup (7/2)·(3/4) = 21/8 hesaplamak ya da 1/(3/2)'yi 3/2 olarak almak sonucu şıkların dışına veya 3 (B) gibi yakın bir değere kaydırır.

Doğru cevap A.

Orta nokta formülü: N = ((x_C + x_D)/2, (y_C + y_D)/2)

D = (x, y) diyelim.

Apsis: (3 + x)/2 = −1 ⇒ 3 + x = −2 ⇒ x = −5

Ordinat: (−5 + y)/2 = 4 ⇒ −5 + y = 8 ⇒ y = 13

D = (−5, 13)

Kısa yol: D = 2N − C = (2·(−1) − 3, 2·4 − (−5)) = (−5, 13).

Kontrol: C(3, −5) ile D(−5, 13)'ün orta noktası ((3 − 5)/2, (−5 + 13)/2) = (−1, 4) = N ✓.

Tuzak: N ile C'nin orta noktasını hesaplamak (sonuç (1, −1/2) olur) ya da D = N − C gibi 2 katsayısını unutmak (−4, 9) sonucunu verir; bu iki yaklaşım da yanlış sonuca götürür. E şıkkı N'nin kendisidir.

Doğru cevap D.

Adım 1 – Etiket fiyatı: İndirim tutarı etiket fiyatının %15'i ve 840 ₺'dir. Etiket = 840 ÷ 0,15 = 5.600 ₺.

Adım 2 – Satış fiyatı: 5.600 − 840 = 4.760 ₺ (ya da 5.600 · 0,85).

Adım 3 – Maliyet: Satış fiyatı maliyetin %60 fazlasıdır: 1,6 · M = 4.760 → M = 4.760 ÷ 1,6 = 2.975 ₺.

Kontrol: 2.975 · 1,6 = 4.760 ✓; 5.600 · 0,15 = 840 ✓.

Yaygın tuzaklar: kârı etiket fiyatı üzerinden hesaplamak (5.600 ÷ 1,6 = 3.500) ya da satış fiyatının %60'ını düşerek maliyet bulmak (4.760 · 0,4 = 1.904). Kâr yüzdesi, aksi söylenmedikçe maliyet üzerinden hesaplanır.

Doğru cevap E.

Önce parantez içindeki ◇ işlemleri, ardından ⋆ işlemi yapılır.

Adım 1: 2 ◇ 3 = 2 + 3 + 3 = 8.

Adım 2: 3 ◇ 4 = 3 + 4 + 3 = 10.

Adım 3: 8 ⋆ 10 = 8 · 10 − 2 = 80 − 2 = 78.

Yaygın tuzaklar:

• ◇ işleminde +3'ü unutup 5 ve 7 bulmak; bu durumda 5 ⋆ 7 = 33 çıkar.
• ⋆ işleminde −2'yi atlayıp 80 bulmak.
• İşlem sırasını karıştırıp ⋆'ı önce uygulamak.

Tanımlı işlem sorularında her sembolün kuralı ayrı ayrı ve verilen sırayla uygulanmalıdır; parantezler önceliği belirler.