2024/3 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap D.

1. Payı sadeleştirelim: sin 2x = 2 sin x cos x olduğundan sin x cos x = (1/2) sin 2x.

İntegrand: (1/2) · sin 2x / cos 2x = (1/2) tan 2x

2. İlkel fonksiyon: ∫ tan 2x dx = −(1/2) ln|cos 2x| + C

Dolayısıyla ∫ (1/2) tan 2x dx = −(1/4) ln|cos 2x| + C

3. Sınırlar:

• x = π/6: cos(π/3) = 1/2 ⇒ −(1/4) ln(1/2) = (1/4) ln 2
• x = 0: cos 0 = 1 ⇒ −(1/4) ln 1 = 0

Sonuç: (1/4) ln 2.

(Alternatif: u = cos 2x, du = −2 sin 2x dx yerine koyma yöntemiyle de aynı sonuç çıkar.)

Tuzak: ln(1/2)'nin negatif olduğunu unutup sonucu −(1/4) ln 2 bırakmak; önündeki eksi işaretiyle birleşince pozitif (1/4) ln 2 elde edilir.

Doğru cevap C.

Kapalı aralıkta mutlak ekstremumlar kritik noktalarda veya uç noktalarda oluşur.

1. Türev: f(x) = x² − x⁵ ⇒ f'(x) = 2x − 5x⁴ = x(2 − 5x³)

f'(x) = 0 ⇒ x = 0 veya x³ = 2/5, yani x = (2/5)^(1/3) (bu değer [0, 1] içindedir).

2. Değerler:

• f(0) = 0
• f(1) = 1 · (1 − 1) = 0
• x³ = 2/5 noktasında: f = x² · (1 − 2/5) = (3/5) · x² = (3/5)·(2/5)^(2/3)

Aralıkta f(x) = x²(1 − x³) ≥ 0 olduğundan en küçük değer 0, en büyük değer (3/5)·(2/5)^(2/3)'tür.

3. Toplam: 0 + (3/5)·(2/5)^(2/3) = (3/5)·(2/5)^(2/3).

Tuzak: kritik noktayı x = 2/5 sanmak (küpkökü unutmak) ya da en küçük değeri de kritik noktada aramak; minimum bu soruda uç noktalardadır.

Doğru cevap A.

Tüm ifadeleri çarpanlarına ayıralım:

• a² − 5a = a(a − 5)
• a² − 9a + 20 = (a − 4)(a − 5)
• a³ − 4a = a(a² − 4) = a(a − 2)(a + 2)
• a² − 2a − 8 = (a − 4)(a + 2)

Birinci kesir: a(a − 5)/[(a − 4)(a − 5)] = a/(a − 4)

İkinci kesir: a(a − 2)(a + 2)/[(a − 4)(a + 2)] = a(a − 2)/(a − 4)

Bölme (ikinci kesri ters çevirip çarpma):

[a/(a − 4)] · [(a − 4)/(a(a − 2))] = 1/(a − 2)

a ve (a − 4) çarpanları sadeleşir.

Tuzak: bölme işaretini (:) çarpma gibi işleyip ikinci kesri ters çevirmemek a²(a − 2)/(a − 4)² gibi seçeneklerde olmayan bir sonuç verir; a² − 2a − 8'i (a − 2)(a + 4) diye yanlış ayırmak da B şıkkına götürebilir.

Doğru cevap B.

Her değeri doğrudan yerine koyalım; mutlak değerin sonucu daima sıfır ya da pozitiftir.

f(−1): |−1 + 2| − |1 − (−1)| = |1| − |2| = 1 − 2 = −1

f(2): |2 + 2| − |1 − 2| = |4| − |−1| = 4 − 1 = 3

f(3): |3 + 2| − |1 − 3| = |5| − |−2| = 5 − 2 = 3

Toplam: −1 + 3 + 3 = 5

Not: x ≥ 1 için f(x) = (x + 2) − (x − 1) = 3 sabittir; bu yüzden f(2) = f(3) = 3 olması beklenen bir sonuçtur.

Tuzak: |1 − (−1)| ifadesini |1 − 1| = 0 gibi işaret hatasıyla hesaplamak f(−1)'i 1 yapar ve toplam 7 (D) çıkar; ayrıca |1 − x| içindeki negatif sonuçların mutlak değerini almayı unutmak da sonucu bozar.

Doğru cevap B.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü: |AB| = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

√[(7 − (−5))² + (a − (−1))²] = 13

√[12² + (a + 1)²] = 13

İki tarafın karesini alalım:

144 + (a + 1)² = 169 ⇒ (a + 1)² = 25 ⇒ a + 1 = ±5

• a + 1 = 5 ⇒ a = 4
• a + 1 = −5 ⇒ a = −6

Değerler toplamı: 4 + (−6) = −2

Kısa yol: (a + 1)² = 25 denklemi a² + 2a − 24 = 0 şeklinde yazılırsa kökler toplamı −b/a = −2 doğrudan bulunur.

Tuzak: yalnızca pozitif kökü (a = 4) alıp diğerini unutmak; kare alınan denklemlerde iki çözüm olabileceği akılda tutulmalıdır. (5-12-13 Pisagor üçlüsünü tanımak hesabı hızlandırır.)

Doğru cevap C.

Parantez içindeki merdivenli kesri alttan yukarıya çözelim:

• 3 + 1/4 = 13/4
• 1/(13/4) = 4/13
• 1 + 4/13 = 17/13

Denklem: 1/k − 17/13 = 9/13

1/k = 9/13 + 17/13 = 26/13 = 2

Dolayısıyla k = 1/2.

Kontrol: 1/(1/2) = 2; 2 − 17/13 = 26/13 − 17/13 = 9/13 ✓.

Parantez içindeki kesir 17/13 ≈ 1,31 olduğundan 1/k'nın 2 çıkması makuldür; k bu durumda 1'den küçük bir sayı olmalıdır.

Tuzak: 1/k = 2 bulduktan sonra k = 2 cevabını aramak (seçeneklerde yoktur) ya da parantezin önündeki eksiyi dağıtmayı unutup 1/k = 9/13 − 17/13 gibi işlem yapmak k'yı negatif bir değere götürür.

Doğru cevap B.

Adım 1 – İçler dışlar çarpımı: (2x + y)/2 = (y − x)/3 → 3(2x + y) = 2(y − x) → 6x + 3y = 2y − 2x.

Adım 2 – Sadeleştirme: 6x + 2x = 2y − 3y → 8x = −y → y = −8x.

Adım 3 – Oranı hesaplama: y = −8x yazılırsa:

• Pay: 4x − 2(−8x) = 4x + 16x = 20x
• Payda: −8x + 3x = −5x

Oran: 20x / (−5x) = −4 (x ≠ 0 için).

Kontrol: x = 1, y = −8 alınırsa (2 − 8)/2 = −3 ve (−8 − 1)/3 = −3 ✓; oran (4 + 16)/(−8 + 3) = 20/(−5) = −4 ✓.

Yaygın tuzak: payda −2y'yi yerine koyarken işareti kaçırmak (−2·(−8x) = +16x); bu hata −12x/(−5x) gibi yanlış sonuçlara götürür.

Doğru cevap E.

Adım 1 – Kardeşlerin yaşları: En küçük kardeş x yaşında olsun; diğerleri x + 4 ve x + 8. Toplam: 3x + 12.

Adım 2 – Babanın yaşı: Baba = 3x + 12.

Adım 3 – 6 yıl sonrası: Dört kişinin her biri 6 yaş büyür, toplam 4 · 6 = 24 artar. Bugünkü toplam: (3x + 12) + (3x + 12) = 6x + 24. 6 yıl sonra: 6x + 24 + 24 = 108 → 6x = 60 → x = 10.

Adım 4 – Sonuç: En küçük kardeş 10, kardeşler 10, 14, 18; baba 42 yaşındadır. İstenen toplam: 10 + 42 = 52.

Kontrol: 6 yıl sonra 16 + 20 + 24 + 48 = 108 ✓.

Yaygın tuzak: 6 yıllık artışı yalnızca bir kez (6) eklemek; dört kişi olduğu için toplam 24 artar.