Soru 1 · 2025/2 · Matematik
lim (x→∞) (ln x)² / (1 + e·x²) ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü göster — doğru cevap C
Doğru cevap C.
x → ∞ iken hem pay (ln x)² hem payda 1 + e·x² sonsuza gider; ∞/∞ belirsizliği vardır.
Büyüme hızı karşılaştırması: Logaritmanın herhangi bir kuvveti, x'in herhangi bir pozitif kuvvetinden çok daha yavaş büyür. Paydadaki x² terimi baskın olduğundan oran sıfıra gider.
L'Hôpital ile doğrulama:
- Türev: [2 ln x · (1/x)] / (2e x) = ln x / (e x²)
- Hâlâ ∞/∞; tekrar türev: (1/x) / (2e x) = 1/(2e x²)
- x → ∞ iken 1/(2e x²) → 0
Sonuç: 0.
Tuzak: paydadaki e katsayısını görüp sonucun e ile ilgili bir sayı (−e, −1/e, 2e) olacağını düşünmek. e yalnızca sabit bir çarpandır; sonucu belirleyen, payın paydaya göre çok daha yavaş büyümesidir.
Soru 2 · 2025/2 · Matematik
(log₃ 4 + log₃ 5) / (log₂₇ 2 + log₂₇ 10 + log₂₇ 20) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü göster — doğru cevap E
Doğru cevap E.
Pay: Aynı tabanlı logaritmaların toplamı, çarpımın logaritmasıdır: log₃ 4 + log₃ 5 = log₃ (4 · 5) = log₃ 20
Payda: log₂₇ 2 + log₂₇ 10 + log₂₇ 20 = log₂₇ (2 · 10 · 20) = log₂₇ 400
Taban değiştirme: 27 = 3³ olduğundan log₂₇ y = (1/3) log₃ y.
log₂₇ 400 = (1/3) log₃ 400 = (1/3) log₃ 20² = (2/3) log₃ 20
Oran: log₃ 20 / [(2/3) log₃ 20] = 3/2
Tuzak: log₂₇'yi log₃'e çevirirken 1/3 yerine 3 ile çarpmak sonucu 1/6 gibi bir değere götürür. 400 = 20² olduğunu fark etmek çözümün kilit adımıdır.
Soru 3 · 2025/2 · Matematik
(5 + 1/4)/(1 − 1/8) − 2/5 işleminin sonucu kaçtır?
- A)21/5
- B)23/5
- C)27/5
- D)28/5
- E)31/5
Çözümü göster — doğru cevap D
Doğru cevap D.
Pay: 5 + 1/4 = 20/4 + 1/4 = 21/4
Payda: 1 − 1/8 = 8/8 − 1/8 = 7/8
Bölme: (21/4)/(7/8) = (21/4) · (8/7) = (21 · 8)/(4 · 7) = 168/28 = 6
Çıkarma: 6 − 2/5 = 30/5 − 2/5 = 28/5
Tuzak: bölmede ikinci kesri ters çevirmeyi unutup (21/4)·(7/8) = 147/32 hesaplamak ya da 6 − 2/5 işleminde 6'yı 30/5 yerine 6/5 yazmak sık yapılan hatalardır. 6 − 2/5'in 6'dan biraz küçük olması gerektiği (28/5 = 5,6) akılda tutulursa şıklar arasında kolayca kontrol yapılabilir.
Soru 4 · 2025/2 · Matematik
2x − 3y + 6 = 0 ve 4x + y − 10 = 0 doğrularının kesim noktasından geçen ve y = −(1/2)x + 4 doğrusuna dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
- A)7y − 14x + 2 = 0
- B)3y − 6x + 3 = 0
- C)4y − 8x − 7 = 0
- D)y − 2x + 2 = 0
- E)2y − 4x + 5 = 0
Çözümü göster — doğru cevap A
Doğru cevap A.
1. Kesim noktası: 4x + y − 10 = 0 ⇒ y = 10 − 4x. Bunu ilk denklemde yazalım: 2x − 3(10 − 4x) + 6 = 0 ⇒ 2x − 30 + 12x + 6 = 0 ⇒ 14x = 24 ⇒ x = 12/7 y = 10 − 48/7 = 22/7
2. Eğim: y = −(1/2)x + 4 doğrusunun eğimi −1/2. Dik doğrunun eğimi m · (−1/2) = −1 ⇒ m = 2.
3. Denklem: y − 22/7 = 2(x − 12/7) ⇒ y = 2x − 24/7 + 22/7 = 2x − 2/7
Her tarafı 7 ile çarpalım: 7y = 14x − 2 ⇒ 7y − 14x + 2 = 0.
Şıkların hepsi eğimi 2 olan paralel doğrulardır; ayırt edici olan kesim noktasıdır. Kontrol: 7·(22/7) − 14·(12/7) + 2 = 22 − 24 + 2 = 0 ✓.
Tuzak: dik eğimi −2 veya 1/2 almak; ya da kesim noktasını bulmadan şıklardan birini seçmek.
Soru 5 · 2025/2 · Matematik
Ardışık iki doğal sayının küpleri farkı 169'dur. Buna göre bu sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü göster — doğru cevap C
Doğru cevap C.
Sayılar n ve n + 1 olsun.
(n + 1)³ − n³ = n³ + 3n² + 3n + 1 − n³ = 3n² + 3n + 1
3n² + 3n + 1 = 169 ⇒ 3n² + 3n = 168 ⇒ n² + n = 56 ⇒ n(n + 1) = 56
56 = 7 · 8 olduğundan n = 7; sayılar 7 ve 8'dir.
Kontrol: 8³ − 7³ = 512 − 343 = 169 ✓.
Toplam: 7 + 8 = 15.
Kısa yol: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) ve a − b = 1 olduğundan a² + ab + b² = 169; küçük küpleri deneyerek de 512 − 343 hızlıca bulunur.
Tuzak: 169 = 13² olduğunu görüp sayıların toplamını 13 (B şıkkı) sanmak; 169 bir kareler değil küpler farkıdır.
Soru 6 · 2025/2 · Matematik
(4x² − 12xy + 9y²)/(2x² − xy − 3y²) ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
- A)(2x − 3y)/(x + y)
- B)(x − 3y)/(x + 2y)
- C)(2x + 3y)/(x − 2y)
- D)(2x − y)/(2x + y)
- E)(x − y)/(x + y)
Çözümü göster — doğru cevap A
Doğru cevap A.
Pay (tam kare): 4x² − 12xy + 9y² = (2x)² − 2·(2x)·(3y) + (3y)² = (2x − 3y)²
Payda (çarpanlara ayırma): 2x² − xy − 3y² ifadesinde çarpımı 2·(−3) = −6, toplamı −1 olan sayılar −3 ve 2'dir: 2x² + 2xy − 3xy − 3y² = 2x(x + y) − 3y(x + y) = (2x − 3y)(x + y)
Sadeleştirme: (2x − 3y)² / [(2x − 3y)(x + y)] = (2x − 3y)/(x + y)
Kontrol: x = 2, y = 1 için ifade (16 − 24 + 9)/(8 − 2 − 3) = 1/3; (4 − 3)/(2 + 1) = 1/3 ✓.
Tuzak: paydayı (2x + 3y)(x − y) şeklinde işaretleri ters ayırmak; açıldığında orta terim +xy çıkar ve ifadeyle uyuşmaz.
Soru 7 · 2025/2 · Matematik
a, b ve c sıfırdan farklı birer tamsayı olmak üzere aşağıdaki bilgiler veriliyor.
I. a + b tek sayıdır.
II. a² + 2c çift sayıdır.
III. b · c tek sayıdır.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
- A)a + c çift sayıdır.
- B)a · b tek sayıdır.
- C)a · c çift sayıdır.
- D)b + c tek sayıdır.
- E)a + b + c tek sayıdır.
Çözümü göster — doğru cevap C
Doğru cevap C.
Adım 1 – III. bilgi: b · c tek ise çarpanların ikisi de tektir: b tek, c tek.
Adım 2 – I. bilgi: a + b tek ve b tek olduğuna göre a çift olmalıdır (çift + tek = tek).
Adım 3 – II. bilgi ile kontrol: a çift → a² çift; 2c her zaman çift; toplam çift ✓. Bilgiler tutarlıdır.
Adım 4 – Şıklar (a çift, b tek, c tek):
- A) a + c = çift + tek = tek → yanlış
- B) a · b = çift · tek = çift → yanlış
- C) a · c = çift · tek = çift → doğru
- D) b + c = tek + tek = çift → yanlış
- E) a + b + c = çift + tek + tek = çift → yanlış
Yaygın tuzak: II. bilgiden a hakkında sonuç çıkarmaya çalışmak; 2c her zaman çift olduğundan II, a'nın çift olmasıyla uyumu doğrular ama belirleyici bilgi I ve III'tür.
Soru 8 · 2025/2 · Matematik
Bir işyerinde Ali, Burcu ve Can birlikte çalışmaktadır. Ali'nin bir saatte yaptığı iş miktarı, Burcu'nun bir saatte yaptığı iş miktarının 2/3'ü, Can'ın yaptığı iş miktarının 4/5'idir. Üçü birlikte çalışarak bir işi 24 saatte tamamladıklarına göre, yalnız Can bu işi kaç saatte tamamlar?
Çözümü göster — doğru cevap C
Doğru cevap C.
Adım 1 – Saatlik iş oranları: Ali = (2/3)·Burcu ve Ali = (4/5)·Can. Ali'nin saatlik işine 4 birim diyelim:
- Burcu: 4 ÷ (2/3) = 6 birim
- Can: 4 ÷ (4/5) = 5 birim
Adım 2 – Birlikte: Saatte 4 + 6 + 5 = 15 birim iş yapılır.
Adım 3 – İşin tamamı: 24 saatte bittiğine göre iş 24 · 15 = 360 birimdir.
Adım 4 – Yalnız Can: 360 ÷ 5 = 72 saat.
Kontrol: Can'ın payı 5/15 = 1/3; birlikte 24 saat sürdüğüne göre Can yalnız 24 · 3 = 72 saatte bitirir ✓.
Yaygın tuzak: oranları ters kurmak (Burcu = (2/3)·Ali gibi). "Ali'nin işi, Burcu'nunkinin 2/3'ü" ifadesi Ali'nin daha az iş yaptığını, Burcu'nun daha hızlı olduğunu gösterir.