2026/1 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap B.

Logaritmanın tanımı: log_a b = c ⇔ a^c = b.

log₃(4x + 1) = 2 ⇒ 4x + 1 = 3² = 9

4x = 8 ⇒ x = 2

Tanım koşulu kontrolü: Logaritmanın içi pozitif olmalıdır: 4·2 + 1 = 9 > 0 ✓.

Doğrulama: log₃ 9 = 2 ✓.

Bu tür sorularda bulunan x değeri mutlaka logaritmanın içine geri yazılarak pozitiflik koşulu kontrol edilmelidir; burada koşul sağlandığı için x = 2 geçerli tek çözümdür.

Tuzak: üs ile tabanı karıştırıp 4x + 1 = 2³ = 8 yazmak x = 7/4 verir; ya da 4x + 1 = 3 · 2 = 6 gibi çarpma yapmak x = 5/4 sonucuna götürür. Logaritma bir üs sorusudur: 3'ün hangi kuvveti 4x + 1'e eşittir sorusunun cevabı 2'dir, yani 4x + 1 = 3² olmalıdır.

Doğru cevap C.

Birinci parantez: 5 + 2/3 = 15/3 + 2/3 = 17/3

İkinci parantez: 3 − 1/6 = 18/6 − 1/6 = 17/6

Bölme: (17/3) ÷ (17/6) = (17/3) · (6/17) = 6/3 = 2

Çıkarma: 2 − 3/4 = 8/4 − 3/4 = 5/4

Pay ve paydada 17'nin ortak olması bölmeyi kolaylaştırır: kalan oran 6/3 = 2'dir.

Tuzak: bölmede ikinci kesri ters çevirmeyi unutup (17/3)·(17/6) gibi büyük bir sayı elde etmek ya da köşeli parantez önceliğini göz ardı edip 3/4'ü parantez içindeki bir terimden çıkarmak yanlış sonuçlara götürür.

Doğru cevap E.

Noktanın doğruya uzaklığı formülü: d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²)

Burada a = 8, b = −15, c = 4 ve nokta (k, 2):

√(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17

|8k − 15·2 + 4| / 17 = 3 ⇒ |8k − 26| = 51

İki durum:

• 8k − 26 = 51 ⇒ 8k = 77 ⇒ k = 77/8
• 8k − 26 = −51 ⇒ 8k = −25 ⇒ k = −25/8

Toplam: 77/8 + (−25/8) = 52/8 = 13/2

Kısa yol: |8k − 26| = 51'in iki kökü 26/8 etrafında simetriktir; toplamları 2 · 26/8 = 13/2.

Tuzak: mutlak değerin yalnızca pozitif durumunu alıp k = 77/8 ile yetinmek ya da paydadaki √289'u unutmak; 8-15-17 Pisagor üçlüsünü tanımak işlemi hızlandırır.

Doğru cevap D.

Onlar basamağı A olan iki basamaklı çift sayılar, birler basamağı 0, 2, 4, 6, 8 olanlardır:

A0, A2, A4, A6, A8 ⇒ 5 sayı

Her birinin değeri 10A + (birler basamağı) şeklindedir. Toplam:

5 · 10A + (0 + 2 + 4 + 6 + 8) = 50A + 20

50A + 20 = 370 ⇒ 50A = 350 ⇒ A = 7

Kontrol: 70 + 72 + 74 + 76 + 78 = 370 ✓.

Kısa yol: beş sayının ortalaması ortadaki sayıdır (A4); 370 / 5 = 74 ⇒ A = 7.

Tuzak: sayıların basamak değerini unutup yalnızca rakamları toplamak (5A + 20 = 370 gibi) ya da çift sayı sayısını 4 alıp (0'ı atlayarak) hesap yapmak sonucu bozar.

Doğru cevap E.

Pay (tam kare): 9x² − 12xy + 4y² = (3x)² − 2·(3x)·(2y) + (2y)² = (3x − 2y)²

Payda (çarpanlara ayırma): 3x² − 5xy + 2y² ifadesinde çarpımı 3·2 = 6, toplamı −5 olan sayılar −3 ve −2'dir: 3x² − 3xy − 2xy + 2y² = 3x(x − y) − 2y(x − y) = (3x − 2y)(x − y)

Sadeleştirme: (3x − 2y)² / [(3x − 2y)(x − y)] = (3x − 2y)/(x − y)

Kontrol: x = 2, y = 1 için ifade (36 − 24 + 4)/(12 − 10 + 2) = 16/4 = 4; (6 − 2)/(2 − 1) = 4 ✓.

Tuzak: paydayı (3x − y)(x − 2y) diye ayırmak; açılımda orta terim −7xy çıkar ve ifadeyle uyuşmaz. Ortak çarpan (3x − 2y) bulunmadan sadeleştirme yapılamaz.

Doğru cevap A.

Adım 1 – Değişkenler: Küçük çocuk x, büyük çocuk x + 4, baba B yaşında olsun.

Adım 2 – Toplam: B + x + (x + 4) = 70 → B + 2x = 66.

Adım 3 – 3 yıl sonrası: B + 3 = 3(x + 3) → B = 3x + 6.

Adım 4 – Çözüm: 3x + 6 + 2x = 66 → 5x = 60 → x = 12. B = 3·12 + 6 = 42.

Yaşlar: baba 42, çocuklar 12 ve 16 (toplam 70 ✓). 3 yıl sonra baba 45, küçük 15; 45 = 3 · 15 ✓.

Adım 5 – İstenen: Küçük çocuk doğduğunda baba 42 − 12 = 30 yaşındaydı.

Yaygın tuzak: soruda istenen babanın bugünkü yaşı (42) veya büyük çocuk doğduğundaki yaşı (26) değildir; yaş farkı zamanla değişmez, baba ile küçük çocuk arasındaki fark 30'dur.

Doğru cevap D.

(h∘g)(π) = h(g(π)) demektir; önce g, sonra h uygulanır.

Adım 1 – İç fonksiyon: g(π) = sin(π/2) = 1.

Adım 2 – Dış fonksiyon: h(1) = e⁻¹ = 1/e.

Sonuç: (h∘g)(π) = 1/e.

Yaygın tuzaklar:

• Bileşke sırasını ters uygulamak: (g∘h)(π) = g(h(π)) = sin(h(π)/2) hesaplanır ki bu istenen değildir; bileşkede sağdaki fonksiyon önce uygulanır.
• sin(π/2) yerine sin(π) = 0 alıp h(0) = 1 bulmak (E şıkkı); g'nin içinde x/2 olduğu unutulmamalıdır.
• e⁻¹'i −e ile karıştırmak (A şıkkı); negatif üs tersini alır, işareti değiştirmez.

Doğru cevap E.

1. Payı eşleniğiyle çarpalım: √n − √(n + 1) = [(√n − √(n + 1))(√n + √(n + 1))] / (√n + √(n + 1)) = (n − (n + 1)) / (√n + √(n + 1)) = −1/(√n + √(n + 1))

2. İfade: [−1/(√n + √(n + 1))] / (√n + √(n + 1)) = −1/(√n + √(n + 1))²

3. Limit: n → ∞ iken payda sonsuza gider, dolayısıyla ifade 0'a yaklaşır (negatif taraftan).

Kısa yol: pay √n − √(n + 1) → 0, payda √n + √(n + 1) → ∞; 0/∞ biçimi belirsizlik değildir ve sonuç doğrudan 0'dır.

Tuzak: pay ve paydayı √n'e bölüp (1 − √(1 + 1/n))/(1 + √(1 + 1/n)) → (1 − 1)/(1 + 1) yazdıktan sonra işareti görüp −1 cevabına kaymak; ya da √n'lerin baskın katsayılarını 1 ve −1 alıp −1 (D) sanmak. Paydadaki kökler toplanırken paydaki kökler birbirini götürür.