2025/1 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap D.

Pay ve paydadaki köklerin ikisi de küpkök olduğundan tek bir küpkök altında birleştirebiliriz:

∛[(27n⁵ − 16n − 1)/(8n⁵ − 1)]

n → ∞ iken köklerin içindeki oranda en yüksek dereceli terimler belirleyicidir. Pay ve paydanın derecesi eşit (5) olduğundan oran, baş katsayıların oranına gider:

(27n⁵ − 16n − 1)/(8n⁵ − 1) → 27/8

Küpkök sürekli bir fonksiyon olduğu için limiti içeri alabiliriz:

∛(27/8) = ∛27 / ∛8 = 3/2

Tuzak: kökü unutup baş katsayılar oranını (27/8, C şıkkı) doğrudan cevap sanmak. İçteki oran 27/8'e gider, ama sonuç bunun küpköküdür.

Doğru cevap B.

Bölümün türevi: u = x, v = 1 + sin²(2x)

• u' = 1
• v' = 2 sin(2x) · cos(2x) · 2 = 2 sin(4x) (zincir kuralı ve 2 sin θ cos θ = sin 2θ)

dy/dx = [v − x · v'] / v² = [1 + sin²(2x) − 2x · sin(4x)] / (1 + sin²(2x))²

x = π/8 için:

• 2x = π/4 ⇒ sin²(π/4) = 1/2 ⇒ v = 3/2
• 4x = π/2 ⇒ sin(π/2) = 1 ⇒ 2x · sin(4x) = π/4

Pay: 3/2 − π/4 = (6 − π)/4 Payda: (3/2)² = 9/4

dy/dx(π/8) = [(6 − π)/4] / (9/4) = (6 − π)/9

Tuzak: sin²(2x)'in türevinde iç türev olan 2'yi unutmak v'yi yarıya indirir ve pay 3/2 − π/8 çıkar; bu değer seçeneklerle uyuşmaz.

Doğru cevap C.

Oranlardan: b = 4a, d = 4c, f = 4e.

İkinci denklemde yerine koyalım:

−2b + 3d + 4f = −2(4a) + 3(4c) + 4(4e) = −8a + 12c + 16e = 20

İlk denklemden −a + 2e = −2; her iki tarafı 8 ile çarparsak −8a + 16e = −16 olur.

Bunu yukarıdaki ifadede kullanalım:

(−8a + 16e) + 12c = 20 ⇒ −16 + 12c = 20 ⇒ 12c = 36 ⇒ c = 3

a ve e ayrı ayrı bulunamaz ama bulunmalarına gerek de yoktur; yalnızca −8a + 16e bileşimi yeterlidir.

Tuzak: oranı ters çevirip a = 4b gibi yazmak katsayıları bozar. Ayrıca a ve e'yi tek tek bulmaya çalışmak bilinmeyen sayısı yetmediği için çözümü tıkar; ifadeyi verilen bileşimin katı olarak görmek gerekir.

Doğru cevap A.

Pay: 3 − 1/7 = 21/7 − 1/7 = 20/7

Payda: 1 + 2/7 = 7/7 + 2/7 = 9/7

Bölme: (20/7)/(9/7) = 20/7 · 7/9 = 20/9

Çıkarma: 20/9 − 2/9 = 18/9 = 2

Pay ve paydanın paydaları aynı (7) olduğu için bölme işleminde 7'ler doğrudan sadeleşir; bu da işlemi hızlandırır. Kısa yol olarak pay ve paydayı 7 ile genişletmek de aynı sonucu verir: (21 − 1)/(7 + 2) = 20/9.

Tuzak: işlem önceliğine uymayıp önce 2/9'u paydadan çıkarmaya çalışmak ya da 3 − 1/7'yi 2/7 olarak hesaplamak (tam sayıyı kesre çevirmeyi unutmak) yanlış sonuçlara götürür.

Doğru cevap E.

Pay (iki kare farkı iki kez): x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4)

Payda (gruplandırma): x³ + 2x² + 4x + 8 = x²(x + 2) + 4(x + 2) = (x + 2)(x² + 4)

Sadeleştirme: (x − 2)(x + 2)(x² + 4) / [(x + 2)(x² + 4)] = x − 2

(x + 2) ve (x² + 4) ortak çarpanları sadeleşir.

Kontrol: x = 0 için ifade −16/8 = −2 ve x − 2 = −2 ✓.

Tuzak: paydayı gruplamadan (x + 2)³ gibi bir açılım sanmak ya da x² + 4'ü (x − 2)(x + 2) diye yanlış ayırmak (x² + 4 reel çarpanlara ayrılmaz) sonucu x + 2 veya x gibi şıklara kaydırır.

Doğru cevap D.

Adım 1 – Sayıları tanımlama: Ardışık iki çift doğal sayı n ve n + 2 olsun.

Adım 2 – Kareler farkı: (n + 2)² − n² = (n + 2 − n)(n + 2 + n) = 2(2n + 2) = 4n + 4.

Adım 3 – Denklem: 4n + 4 = 204 → 4n = 200 → n = 50. Sayılar 50 ve 52'dir.

Kontrol: 52² − 50² = 2704 − 2500 = 204 ✓.

Adım 4 – Rakamlar toplamı: Büyük sayı 52 → 5 + 2 = 7.

Yaygın tuzaklar: ardışık çift sayıları n ve n + 1 almak (farkı 2 olmalıdır) ya da rakamlar toplamını küçük sayı (50 → 5) için hesaplamak. Soru büyük olanı sorar.

Doğru cevap C.

Adım 1 – Bugünkü yaşlar: Oran 3/5 olduğundan yaşları 3k ve 5k alalım.

Adım 2 – 5 yıl sonra: Yaşlar 3k + 5 ve 5k + 5 olur. Oran: (3k + 5)/(5k + 5) = 2/3.

Adım 3 – Çözüm: İçler dışlar: 3(3k + 5) = 2(5k + 5) → 9k + 15 = 10k + 10 → k = 5.

Adım 4 – Yaşlar: 3 · 5 = 15 ve 5 · 5 = 25. Toplam: 15 + 25 = 40.

Kontrol: 5 yıl sonra 20 ve 30; 20/30 = 2/3 ✓.

Yaygın tuzak: 5 yıl sonrası için yalnızca bir kardeşin yaşına 5 eklemek ya da k değerini (5) veya 5 yıl sonraki toplamı (50) cevap sanmak. Soru bugünkü toplamı sorar.

Doğru cevap A.

Adım 1 – Kesim noktası: 3x − 6 = 2x − 4 → x = 2. y = 3·2 − 6 = 0. Kesim noktası (2, 0).

Adım 2 – Paralel doğrunun eğimi: 2y + 3x − 4 = 0 → 2y = −3x + 4 → y = −(3/2)x + 2. Eğim −3/2'dir. Paralel doğrular aynı eğime sahiptir.

Adım 3 – Denklem: (2, 0) noktasından geçen, eğimi −3/2 olan doğru: y − 0 = −(3/2)(x − 2) → y = −(3/2)x + 3.

Kontrol: x = 2 için y = −3 + 3 = 0 ✓.

Yaygın tuzaklar: eğimi −2/3 almak (x ve y katsayılarını ters oranlamak; C ve D bu hatadan gelir) ya da doğru eğimi bulup sabit terimi kesim noktasıyla ayarlamayı unutmak (B).