2016/2 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap D.

x = √2 − 1 verildiğine göre çarpanları tek tek bulalım:

x = √2 − 1 x + 1 = √2 x + 2 = √2 + 1

Önce x ile (x + 2)'yi çarpmak işi kolaylaştırır, çünkü bunlar eşlenik ifadelerdir:

x(x + 2) = (√2 − 1)(√2 + 1) = (√2)² − 1² = 2 − 1 = 1

Kalan çarpan x + 1 = √2 olduğundan:

x(x + 1)(x + 2) = 1 · √2 = √2

Alternatif: x(x + 2) = x² + 2x = (x + 1)² − 1 = 2 − 1 = 1 şeklinde de görülebilir.

Tuzak: çarpanları soldan sağa sırayla açmak köklü terimlerle uğraştırır; eşlenik çifti (√2 − 1)(√2 + 1) önce yakalamak işlemi tek adıma indirir.

Doğru cevap A.

İki basamaklı ab sayısını N ile gösterelim (N = 10a + b). Sağ tarafına 1 yazıldığında üç basamaklı ab1 sayısı oluşur. Bir sayının sağına rakam eklemek, sayıyı 10 ile çarpıp o rakamı eklemek demektir:

ab1 = 10·N + 1

Yeni sayı eskisinden 730 fazla:

10N + 1 = N + 730 9N = 729 N = 81

Buna göre a = 8, b = 1 ve a + b = 9 olur.

Kontrol: 811 − 81 = 730. Koşul sağlanır.

Tuzak: sağa 1 yazmayı sayıya 1 eklemek ya da 100 eklemek gibi yorumlamak; basamak değeri kaydığı için sayı 10 katına çıkar ve üzerine 1 eklenir.

Doğru cevap A.

Terimleri ortak çarpanlarına göre gruplamak hesabı çok kısaltır:

55 · 39 + 55 · 61 = 55 · (39 + 61) = 55 · 100 = 5500

45 · 29 + 45 · 71 = 45 · (29 + 71) = 45 · 100 = 4500

Toplam: 5500 + 4500 = 10000

10000 sayısının rakamları 1, 0, 0, 0, 0'dır; rakamları toplamı 1 olur.

Burada kullanılan kural, çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliğidir: k·x + k·y = k·(x + y). Toplamı 100 eden eşleri (39 ile 61, 29 ile 71) fark etmek işlemi zihinden yapılabilir hâle getirir.

Tuzak: dört çarpımı ayrı ayrı hesaplayıp toplamak hem zaman kaybettirir hem de işlem hatasına açıktır.

Doğru cevap D.

Bir işlemde bir elemanın tersini bulmak için önce birim (etkisiz) eleman bulunur.

1. adım – Birim eleman (e): Her x için x∘e = x olmalıdır. x + e − 2 = x → e = 2

2. adım – 1'in tersi (1⁻¹ = a): 1∘a = e olmalıdır. 1 + a − 2 = 2 → a − 1 = 2 → a = 3

Kontrol: 1∘3 = 1 + 3 − 2 = 2 = e; ayrıca işlem değişmeli olduğu için 3∘1 de 2'dir.

Yaygın tuzak, birim eleman yerine doğrudan 0'ı ya da 1'i esas almaktır. 1∘a = 0 kurulursa a = 1, 1∘a = 1 kurulursa a = 2 bulunur ve yanlış şıklara gidilir. Ters eleman her zaman o işlemin kendi birim elemanına göre hesaplanır.

Doğru cevap B.

1. adım – Oranı yaz: x · y · 25 = (x + 2) · 60 eşitliğinden x·y / (x + 2) = 60/25 = 12/5 bulunur.

2. adım – Aralarında asallığı kullan: x·y ile x + 2 aralarında asal olduğundan x·y/(x + 2) kesri sadeleşemez; yani bu kesir 12/5'in ta kendisidir (12 ile 5 de aralarında asaldır). Buna göre:

• x · y = 12
• x + 2 = 5 → x = 3

3. adım – y'yi bul: 3 · y = 12 → y = 4

4. adım – Sonuç: x − y = 3 − 4 = −1

Kontrol: 3 · 4 · 25 = 300, (3 + 2) · 60 = 300.

Yaygın tuzak, 60/25 oranını sadeleştirmeden x·y = 60, x + 2 = 25 almaktır; 60 ile 25 aralarında asal olmadığı için bu eşleştirme koşulu sağlamaz.

Doğru cevap A.

1. adım – İkinci kesri düzenle: 7⁻ᵐ = 1/7ᵐ olduğundan 7⁻ᵐ − 1 = (1 − 7ᵐ)/7ᵐ olur. Böylece 7/(7⁻ᵐ − 1) = 7 · 7ᵐ/(1 − 7ᵐ) = −7 · 7ᵐ/(7ᵐ − 1)

2. adım – Paydalar eşitlendi, topla: 7/(7ᵐ − 1) − 7 · 7ᵐ/(7ᵐ − 1) = 7(1 − 7ᵐ)/(7ᵐ − 1)

3. adım – Sadeleştir: 1 − 7ᵐ = −(7ᵐ − 1) olduğundan sonuç 7 · (−1) = −7

Kontrol (m = 1): 7/(7 − 1) + 7/(1/7 − 1) = 7/6 + 7/(−6/7) = 7/6 − 49/6 = −42/6 = −7.

Yaygın tuzak, 7⁻ᵐ − 1 paydasını 1/(7ᵐ − 1) gibi yanlış yorumlamak ya da payları sadeleştirirken işaret değişimini unutmaktır; (1 − 7ᵐ) ile (7ᵐ − 1) arasındaki −1 çarpanı sonucu belirler.

Doğru cevap B.

Eşitsizliklerde ifadenin aralığı, her terimin aralığı ayrı ayrı bulunup toplanarak elde edilir.

1. adım – 2x'in aralığı: −2 ≤ x ≤ 3 eşitsizliğini 2 ile çarp: −4 ≤ 2x ≤ 6

2. adım – (−y)'nin aralığı: −3 ≤ y ≤ 4 eşitsizliğini −1 ile çarpınca yön değişir: −4 ≤ −y ≤ 3

3. adım – Topla: −4 + (−4) ≤ 2x − y ≤ 6 + 3 → −8 ≤ 2x − y ≤ 9

En küçük değer −8'dir; bu değer x = −2, y = 4 için gerçekten alınır ve bir tamsayıdır.

Yaygın tuzak, eşitsizlikten doğrudan çıkarma yapmaktır (−4 − (−3) = −1 gibi). Çıkarma işleminde bir değişkenin en küçüğünden diğerinin en büyüğü çıkarılmalıdır; güvenli yol, −y'yi −1 ile çarpıp yönü çevirerek toplamaya dönüştürmektir.

Doğru cevap C.

1. adım – Yaşları oranla yaz: Tansu'nun yaşı a, Tuğçe'nin yaşı b olsun. 3a = 5b ise a/b = 5/3 olur; yani a = 5k, b = 3k.

2. adım – Yaş farkı değişmez: İki kişi arasındaki yaş farkı yıllar geçse de aynı kalır. 7 yıl sonra fark 8 ise bugün de fark 8'dir. 5k − 3k = 8 → 2k = 8 → k = 4

3. adım – Sonuç: Tuğçe'nin yaşı b = 3k = 12, Tansu'nun yaşı 20'dir.

Kontrol: 3 · 20 = 60 = 5 · 12; 7 yıl sonra 27 − 19 = 8.

Yaygın tuzak, "7 yıl sonra" bilgisini denklemin içine gereksiz yere katarak (a + 7) − (b + 7) = 8 yazıp işlemi uzatmak ya da farkın zamanla değiştiğini sanmaktır. Ayrıca oran kurulurken 3a = 5b'den a'nın büyük olduğu (a = 5k) doğru okunmalıdır; ters kurulursa Tansu'nun yaşı olan 20 (E) seçilir.