2016/3 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap B.

İfadeyi açalım:

(a + b)² − 4ab = a² + 2ab + b² − 4ab = a² − 2ab + b² = (a − b)²

Bu, iki kare özdeşliğinin bilinen bir sonucudur: (a + b)² − (a − b)² = 4ab olduğundan (a + b)² − 4ab = (a − b)².

Verilen değerlerle:

a − b = 4829 − 4824 = 5

(a − b)² = 5² = 25

Böylece büyük sayılarla çarpma yapmaya hiç gerek kalmaz.

Tuzak: 4829 + 4824 = 9653'ün karesini ve 4·4829·4824 çarpımını doğrudan hesaplamaya kalkışmak hem uzun sürer hem de hata riskini artırır; özdeşliği görmek soruyu birkaç saniyeye indirir.

Doğru cevap C.

Üç sayının aritmetik ortalaması 33 ise toplamları 3 · 33 = 99'dur.

İki basamaklı sayıları basamak değerleriyle yazalım:

AB = 10A + B BC = 10B + C CA = 10C + A

Toplam: (10A + B) + (10B + C) + (10C + A) = 11A + 11B + 11C = 11(A + B + C)

Eşitlik: 11(A + B + C) = 99 → A + B + C = 9.

Örnek kontrol: A = 2, B = 3, C = 4 için 23 + 34 + 42 = 99 ve ortalama 33 olur; rakamlar toplamı 9'dur.

Tuzak: AB'yi A·B çarpımı gibi okumak; burada AB iki basamaklı sayının gösterimidir ve 10A + B değerine eşittir.

Doğru cevap A.

Köklü ifadeleri rasyonel üslü biçime çevirelim:

√(3ˣ) = 3^(x/2) ∛(3ˣ) = 3^(x/3) ⁶√(3ˣ) = 3^(x/6)

Aynı tabanlı kuvvetlerde çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır:

Üs = x/2 + x/3 − x/6 = (3x + 2x − x)/6 = 4x/6 = 2x/3

Sağ taraf: 81 = 3⁴.

Tabanlar eşit olduğundan üsler eşitlenir:

2x/3 = 4 → 2x = 12 → x = 6

Kontrol: x = 6 için √(3⁶) = 27, ∛(3⁶) = 9, ⁶√(3⁶) = 3; (27 · 9)/3 = 81. Eşitlik sağlanır.

Tuzak: paydadaki altıncı dereceden kökün üssünü toplamaya katmak; bölme olduğu için x/6 çıkarılmalıdır.

Doğru cevap D.

Farklı dereceden kökleri karşılaştırmak için hepsi aynı dereceye getirilir ya da ortak bir kuvvete yükseltilir. Kök dereceleri 2, 3 ve 4'tür; bunların ortak katı (EKOK) 12'dir.

Her sayının 12. kuvvetini al:

• a¹² = (√2)¹² = 2⁶ = 64
• b¹² = (∛3)¹² = 3⁴ = 81
• c¹² = (∜5)¹² = 5³ = 125

Pozitif sayılarda 12. kuvvet sıralamayı korur. 64 < 81 < 125 olduğundan a < b < c bulunur.

Ayrıca yaklaşık değerlerle de doğrulanabilir: √2 ≈ 1,414; ∛3 ≈ 1,442; ∜5 ≈ 1,495.

Yaygın tuzak, yalnızca kökün içindeki sayılara bakıp sıralama yapmak ya da kök derecesi büyüdükçe sayının küçüleceğini varsayarak sıralamayı ters kurmaktır. Değerler birbirine çok yakın olduğu için ortak kuvvete yükseltmek en güvenli yoldur.

Doğru cevap A.

1. adım – Ters oranı bul: y/x = 2 ise x/y = 1/2 olur.

2. adım – Negatif üssü uygula: Negatif üs, tabanın çarpmaya göre tersini alıp üssü pozitife çevirir: (x/y)⁻³ = (1/2)⁻³ = 2³ = 8

Kısa yol: (x/y)⁻³ = (y/x)³ olduğundan doğrudan 2³ = 8 yazılabilir.

Yaygın tuzaklar:

• Negatif üssü sonucun işareti sanıp −8 ya da (1/2)³ = 1/8 bulmak,
• x/y ile y/x'i karıştırıp (2)⁻³ = 1/8 hesaplamak.

Negatif üs yalnızca tabanın tersini almayı gerektirir; sayıyı negatif yapmaz. Bu soruda verilen oran ile istenen oran birbirinin tersi olduğu için iki "ters alma" birbirini götürür ve sonuç doğrudan 2³ olur.

Doğru cevap D.

Birinci sayıyı a ile gösterip diğerlerini buna göre yazmak işlemi kolaylaştırır.

• Birinci sayı: a
• İkinci sayı: birinciden 4 eksik → a − 4
• Üçüncü sayı: birinciden 9 fazla → a + 9

Toplam denklemi: a + (a − 4) + (a + 9) = 86 3a + 5 = 86 3a = 81 → a = 27

Sayılar: 27, 23 ve 36. Toplam 27 + 23 + 36 = 86 tutar.

En büyük sayı üçüncü sayıdır: 36.

Yaygın tuzak, bulunan a = 27 değerini (B şıkkı) doğrudan cevap olarak işaretlemektir; soru birinci sayıyı değil en büyük sayıyı sormaktadır. Bir diğer hata da "üçüncüsünden 9 eksik" ifadesini ters okuyup üçüncü sayıyı a − 9 yazmaktır.

Doğru cevap B.

1. adım – Bugünkü toplam: 3 · (A + Ç) = 99 → A + Ç = 33

2. adım – Geçmişe dön: Akın, Çağatay'dan d yaş büyük olsun (A − Ç = d). Akın'ın Çağatay'ın bugünkü yaşında olduğu an, d yıl öncesidir. O zaman ikisi de d yaş daha küçüktü; toplam 2d azalmıştır: 33 − 2d = 27

3. adım – Çöz: 2d = 6 → d = 3

Kontrol: A + Ç = 33 ve A − Ç = 3 ise A = 18, Ç = 15. Üç yıl önce Akın 15 (Çağatay'ın bugünkü yaşı), Çağatay 12'ydi; toplam 27.

Yaygın tuzak, geçen süre boyunca yalnız bir kişinin yaşının değiştiğini düşünüp toplamdan sadece d düşmektir (33 − d = 27 → d = 6). Geçmişe gidildiğinde iki kişinin yaşı birden azalır; toplam 2d kadar değişir.

Doğru cevap C.

1. adım – Günlük hızlar:

• Nuray: 3/8 gömlek/gün
• Gülay: 5/12 gömlek/gün

2. adım – Ortak paydaya getir (24): 3/8 = 9/24, 5/12 = 10/24 Birlikte günlük: 19/24 gömlek

3. adım – Süreyi bul: 57 ÷ (19/24) = 57 · 24/19 = 3 · 24 = 72 gün

4. adım – Kişi başı üretim:

• Nuray: 72 · 3/8 = 27 gömlek
• Gülay: 72 · 5/12 = 30 gömlek

Toplam 57 tutar.

Fark: 30 − 27 = 3

Kısa yol: Günlük üretimler 9 : 10 oranındadır; 57 gömlek 9 + 10 = 19 parçaya bölünürse her parça 3 olur, fark bir parça yani 3'tür.

Yaygın tuzak, 8 gün ve 12 gün gibi farklı sürelerdeki miktarları (3 ve 5) doğrudan oranlamaktır; önce aynı zaman birimine getirmek gerekir.