2017/1 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap C.

Kesirlerden kurtulmak için eşitliğin her iki tarafını paydaların en küçük ortak katı olan 6 ile çarpalım:

6 · (x + 1)/2 + 6 · (x − 1)/3 = 6 · 1 3(x + 1) + 2(x − 1) = 6

Parantezleri açalım:

3x + 3 + 2x − 2 = 6 5x + 1 = 6 5x = 5 x = 1

Kontrol: x = 1 için (1 + 1)/2 + (1 − 1)/3 = 1 + 0 = 1. Eşitlik sağlanır.

Tuzak: payda eşitlerken sağ taraftaki 1'i de 6 ile çarpmayı unutmak (5x + 1 = 1 yazıp x = 0 bulmak) sık yapılan bir işlem kaymasıdır. Payların tamamını parantez içinde çarpmak, özellikle (x − 1) önündeki işaretin korunması açısından önemlidir.

Doğru cevap C.

Önce sağ tarafı hesaplayalım: 2³ = 8. Denklem |2x − 1| = 8 olur.

Mutlak değer 8 ise içerideki ifade ya 8 ya da −8'dir:

• 2x − 1 = 8 → 2x = 9 → x = 9/2

• 2x − 1 = −8 → 2x = −7 → x = −7/2

Köklerin toplamı:

9/2 + (−7/2) = 2/2 = 1

Kısa yol: |2x − 1| = k (k > 0) denkleminin kökleri 1/2 noktasına göre simetriktir; bu yüzden toplamları her zaman 2 · (1/2) = 1'dir.

Tuzak: yalnızca pozitif durumu çözüp tek kök (9/2) bulmak ya da 2³'ü 6 olarak almak; mutlak değer denklemlerinde iki durum da incelenmelidir.

Doğru cevap A.

Her kökü, içinden çıkabilecek en büyük tam kareyi ayırarak sadeleştirelim:

√8 = √(4·2) = 2√2 √32 = √(16·2) = 4√2 √72 = √(36·2) = 6√2 √162 = √(81·2) = 9√2 √98 = √(49·2) = 7√2

Pay: 2√2 − 4√2 + 6√2 = 4√2

Payda: 9√2 − 7√2 = 2√2

Sonuç: 4√2 / 2√2 = 2

Tüm kökler √2 cinsinden yazılabildiği için √2'ler sadeleşir ve sonuç tam sayı çıkar.

Tuzak: √32 önündeki eksi işaretini gözden kaçırıp payı 12√2 bulmak (sonuç 6 olur) ya da kökleri toplayıp tek kök altında birleştirmeye çalışmak (√8 + √72 ≠ √80).

Doğru cevap B.

1. adım – Paydayı rasyonel yap: Paydadaki 1 + √5'in eşleniği √5 − 1'dir. Pay ve payda bununla çarpılır: 4/(1 + √5) = 4(√5 − 1)/((√5 + 1)(√5 − 1))

2. adım – İki kare farkı: (√5 + 1)(√5 − 1) = 5 − 1 = 4 Böylece 4(√5 − 1)/4 = √5 − 1

3. adım – √5'i çıkar: (√5 − 1) − √5 = −1

Kontrol (yaklaşık): √5 ≈ 2,236; 4/3,236 ≈ 1,236; 1,236 − 2,236 = −1.

Yaygın tuzak, eşlenikle çarparken paydayı (√5)² + 1² = 6 gibi toplam olarak hesaplamak ya da payı çarpmayı unutmaktır. Eşlenik çarpımında payda her zaman iki kare farkı (a² − b²) biçimini alır; burada 5 − 1 = 4 olduğu için paydaki 4 ile tam sadeleşir.

Doğru cevap A.

Ardışık çift doğal sayılar arasında 2 fark vardır. a < b < c olduğundan:

• b = a + 2
• c = a + 4

Farkları hesapla:

• a − b = −2
• c − b = 2
• a − c = −4

Kesre yerleştir: (a − b)(c − b)/(a − c) = (−2) · 2/(−4) = (−4)/(−4) = 1

Sonuç a'nın değerinden bağımsızdır; örneğin 2, 4, 6 alınırsa (2 − 4)(6 − 4)/(2 − 6) = (−2)(2)/(−4) = 1.

Yaygın tuzak, ardışık çift sayılar arasındaki farkı 1 sanmak ya da işaretlere dikkat etmemektir. a − b ve a − c negatif, c − b pozitiftir; iki negatif işaret birbirini götürdüğü için sonuç pozitif çıkar. İşaret gözden kaçarsa −1 bulunup şıklarda olmadığı için karışıklık yaşanabilir.

Doğru cevap E.

1. adım – Paydaları yok et: Eşitliğin her iki tarafını xy ile çarp: 2y + 4x = 4x² − y²

2. adım – Düzenle: 4x² − 4x = y² + 2y

3. adım – Tam kareye tamamla: Her iki tarafa 1 ekle: 4x² − 4x + 1 = y² + 2y + 1 (2x − 1)² = (y + 1)²

4. adım – Kökü al: 2x − 1 = y + 1 veya 2x − 1 = −(y + 1). İkinci durumda 2x = −y olur; x ve y pozitif olduğundan bu mümkün değildir. O hâlde 2x − 1 = y + 1 → y = 2x − 2 = 2(x − 1)

5. adım – Oran: y/(x − 1) = 2

Kontrol: x = 2 → y = 2; 2/2 + 4/2 = 3 ve 8/2 − 2/2 = 3.

Yaygın tuzak, tam kareye tamamlama adımını görmeyip iki bilinmeyenli denklemde takılmaktır; pozitiflik koşulu da negatif kökü elemek için kullanılmalıdır.

Doğru cevap B.

1. adım – x + 1/x'i bul: x = 0 denklemi sağlamadığından denklemin her iki tarafı x'e bölünebilir: x − 3 + 1/x = 0 → x + 1/x = 3

2. adım – Kare al: (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x² = 9 → x² + 1/x² = 7

3. adım – Bir kez daha kare al: (x² + 1/x²)² = x⁴ + 2 + 1/x⁴ = 49 → x⁴ + 1/x⁴ = 47

Yaygın tuzak, kare alırken ortadaki 2 terimini unutmaktır. (x + 1/x)² ifadesi x² + 1/x² değil, x² + 2 · x · (1/x) + 1/x² = x² + 2 + 1/x² olarak açılır. Bu terim ikinci adımda unutulursa 9, üçüncü adımda unutulursa 49 (C şıkkı) bulunur. Kökleri tek tek hesaplamaya (x = (3 ± √5)/2) gerek yoktur; simetrik ifade doğrudan x + 1/x üzerinden bulunur.

Doğru cevap B.

Havuzun tamamının hacmi V litre olsun.

1. adım – İlk durum:

• Havuzdaki su: V/4
• Boş kalan kısım: V − V/4 = 3V/4

2. adım – Taşan miktar: Boş kısmın 1/3'ü kadar su taşıyor: (1/3) · (3V/4) = V/4

3. adım – Denklem: Eklenen 80 litre, boş kısmı doldurur ve fazlası taşar: 80 = boş kısım + taşan = 3V/4 + V/4 = V Yani V = 80 litre.

4. adım – Sonuç: İlk durumdaki su V/4 = 80/4 = 20 litre.

Kontrol: 20 litre su var, 60 litre boş; 80 litre eklenince 60'ı boşluğu doldurur, 20 litre taşar. 20, boş kısım olan 60'ın 1/3'üdür.

Yaygın tuzak, havuzun hacmi olan 80'i doğrudan cevap sanmak ya da "boş kalan kısmın 1/3'ü" ifadesini havuzun tamamının 1/3'ü olarak okumaktır.