2017/2 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap A.

İki kesrin payları eşit (ikisi de 1) olduğundan kesirlerin eşit olması için paydaların eşit olması gerekir:

x − 4 = 2x − 3

x'li terimleri bir tarafa toplayalım: −4 + 3 = 2x − x, yani x = −1.

Kontrol: x = −1 için sol taraf 1/(−1 − 4) = 1/(−5) = −1/5; sağ taraf 1/(2·(−1) − 3) = 1/(−5) = −1/5. İki taraf eşit.

Ayrıca paydalar sıfır olmamalıdır: x ≠ 4 ve x ≠ 3/2. Bulunan x = −1 bu değerlerden farklı olduğundan geçerli bir çözümdür. İçler-dışlar çarpımıyla da aynı sonuç elde edilir: 1·(2x − 3) = 1·(x − 4) ⇒ x = −1.

Tuzak: Paydaların eşitliğinden gelen denklemi kurarken işaret hatası yapıp x = 1 bulmak sık yapılan bir yanlıştır; sonucu mutlaka yerine koyarak doğrulayın.

Doğru cevap E.

İfade iki kare farkı özdeşliğinin açılmış hâlidir: (a − b)(a + b) = a² − b².

Burada a = x·y ve b = √3 alınır:

(x·y − √3)(x·y + √3) = (x·y)² − (√3)²

(x·y)² = x²·y² ve (√3)² = 3 olduğundan sonuç x²·y² − 3 olur.

İstersen dağıtarak da kontrol edebilirsin: x·y·x·y + x·y·√3 − √3·x·y − √3·√3 = x²y² + √3xy − √3xy − 3 = x²y² − 3. Ortadaki terimler birbirini götürür.

Tuzak: (x·y)² ifadesini x² − y² veya x² + y² gibi yazmak yanlıştır; çarpımın karesi, çarpanların karelerinin çarpımıdır (x²·y²). Ayrıca sabit terimin işareti eksidir, çünkü (√3)² çıkarılmaktadır; bu yüzden D şıkkı (+3) de elenir.

Doğru cevap B.

Pay: x² − y² − 2x + 2y ifadesini gruplayalım: (x² − y²) − 2(x − y) = (x − y)(x + y) − 2(x − y) = (x − y)(x + y − 2).

Payda: x² − y² + 4y − 4 = x² − (y² − 4y + 4) = x² − (y − 2)². Bu bir iki kare farkıdır: [x − (y − 2)]·[x + (y − 2)] = (x − y + 2)(x + y − 2).

Sadeleştirme: Pay ve paydada ortak çarpan (x + y − 2) bulunur:

(x − y)(x + y − 2) / [(x − y + 2)(x + y − 2)] = (x − y)/(x − y + 2).

Tuzak: Paydadaki −y² + 4y − 4 terimlerini −(y − 2)² biçiminde toplamayı görmemek, ifadeyi çarpanlarına ayıramamaya yol açar. Paydada eksiyi parantez dışına alırken işaretleri doğru çevirmek gerekir.

Doğru cevap C.

Toplamın genel terimi n·(n+1) biçimindedir ve n, 4'ten 50'ye kadar değişir.

• Yeni terim: Her iki çarpan 1'er artırılınca terim (n+1)·(n+2) olur.
• Bir terimdeki artış: (n+1)(n+2) − n(n+1) = (n+1)·[(n+2) − n] = 2(n+1).
• Toplam artış: n = 4'ten 50'ye kadar 2(n+1) toplanır; bu, 2·(5 + 6 + … + 51) demektir.
• 5'ten 51'e kadar sayıların toplamı: (1 + … + 51) − (1 + 2 + 3 + 4) = 51·52/2 − 10 = 1326 − 10 = 1316.
• Artış = 2·1316 = 2632.

Kontrol: ilk terim 4·5 = 20 iken 5·6 = 30 olur; artış 10 = 2·5, formülle uyumludur.

Yaygın tuzak: artışı her terimde sabit sanıp terim sayısıyla çarpmak ya da toplama 5 yerine 4'ten başlamaktır; artış her terimde farklıdır ve (n+1)'in iki katıdır.

Doğru cevap D.

Ortak bilinmeyen 3ˣ'tir; iki eşitlikten de 3ˣ'i çekip eşitleyelim.

• a = 3ˣ − 1 ⇒ 3ˣ = a + 1.

• b = 1 + 3⁻ˣ = 1 + 1/3ˣ ⇒ b − 1 = 1/3ˣ ⇒ 3ˣ = 1/(b − 1).

Eşitleyelim: a + 1 = 1/(b − 1)

a = 1/(b − 1) − 1 = [1 − (b − 1)]/(b − 1) = (2 − b)/(b − 1).

Kontrol: x = 0 alalım: a = 1 − 1 = 0, b = 1 + 1 = 2. D şıkkında b = 2 yazılırsa (2 − 2)/(2 − 1) = 0 = a. x = 1 için a = 2, b = 4/3; (2 − 4/3)/(4/3 − 1) = (2/3)/(1/3) = 2. Doğrulandı.

Tuzak: 1 − (b − 1) ifadesinde parantezi açarken işaret hatası yapıp b − 2 yazmak A şıkkına götürür; oysa doğru sonuç 2 − b'dir.

Doğru cevap B.

İfadeyi tam kareler cinsinden yazmak en kısa yoldur.

• x'li terimler: x² − 4x = (x − 2)² − 4.
• y'li terimler: y² + 6y = (y + 3)² − 9.
• Yerine yazalım: (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 + 16 = (x − 2)² + (y + 3)² + 3.
• Kare ifadeler hiçbir zaman negatif olamaz; en küçük değerleri 0'dır. Bu da x = 2 ve y = −3 iken gerçekleşir.
• Dolayısıyla ifadenin en küçük değeri 0 + 0 + 3 = 3 olur.

Kontrol: x = 2, y = −3 için 4 + 9 − 8 − 18 + 16 = 3.

Yaygın tuzak: tam kareye tamamlarken eklenen 4 ve 9'u geri çıkarmayı unutmak; bu durumda sonuç yanlışlıkla 16 veya başka bir sayı bulunur.

Doğru cevap A.

İki araç birbirine doğru gelip karşılaştıktan sonra aynı hızlarla yollarına devam eder; artık birbirlerinden uzaklaşırlar.

• Zıt yönde hareket eden araçlar arasındaki mesafe, hızlarının toplamı kadar hızla değişir: 65 + 55 = 120 km/sa.
• Süreyi saate çevirelim: 20 dakika = 20/60 = 1/3 saat.
• Karşılaşma anında aradaki mesafe 0'dır. 1/3 saat sonra mesafe: 120 · 1/3 = 40 km.

Ayrı ayrı da düşünülebilir: birinci araç 65/3 km, ikinci araç 55/3 km yol alır; toplam (65 + 55)/3 = 120/3 = 40 km.

Yaygın tuzak: hızların farkını (10 km/sa) almak ya da 20 dakikayı 0,2 saat kabul etmek. Araçlar zıt yönlerde gittiği için hızlar toplanır ve 20 dakika saatin üçte biridir.

Doğru cevap D.

Yüzde sorularında maliyeti 100 almak işlemi kolaylaştırır.

• Malın maliyeti 100 TL olsun.
• %60 zararla satış fiyatı: 100 − 60 = 40 TL.
• Zarar etmemek için satış fiyatının en az maliyete, yani 100 TL'ye çıkması gerekir. Gereken artış: 100 − 40 = 60 TL.
• Zam oranı, mevcut satış fiyatı üzerinden hesaplanır: 60/40 = 1,5 → %150.

Kontrol: 40 TL'ye %150 zam = 40 + 60 = 100 TL; satış maliyete eşit olur, zarar kalmaz.

Yaygın tuzak: zammı maliyet üzerinden düşünüp %60 cevabını seçmek. Zam, 100 TL'ye değil, düşük olan 40 TL'lik satış fiyatına uygulandığı için oran çok daha büyüktür.