2017/3 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap E.

Dış mutlak değerden başlayalım: |A| = 10 ise A = 10 veya A = −10.

1. durum: |4x − 6| − 8 = 10 ⇒ |4x − 6| = 18.

• 4x − 6 = 18 ⇒ 4x = 24 ⇒ x = 6
• 4x − 6 = −18 ⇒ 4x = −12 ⇒ x = −3

2. durum: |4x − 6| − 8 = −10 ⇒ |4x − 6| = −2. Mutlak değer negatif olamayacağından bu durumdan çözüm gelmez.

Çözüm kümesi {−3, 6} olur.

Kontrol: x = 6 için |24 − 6| = 18, |18 − 8| = 10 ✓. x = −3 için |−12 − 6| = 18, |18 − 8| = 10 ✓.

İfade bir eşitlik olduğundan aslında bir denklem çözülmektedir; kökte geçen "eşitsizlik" sözcüğü sonucu değiştirmez.

Tuzak: |4x − 6| = −2 durumunu da çözmeye kalkıp 4x − 6 = ±2'den x = 1 ve x = 2'yi eklemek D şıkkına götürür; mutlak değer hiçbir zaman negatif bir sayıya eşit olamaz.

Doğru cevap B.

Burada nokta (.) çarpma işaretidir. Terimlerin genel yapısı: k·(2k + 1), k = 1, 2, …, 10. (Kontrol: k = 10 için 10·21 ✓.)

Birinci çarpan 1 artırılınca her terim (k + 1)·(2k + 1) = k·(2k + 1) + (2k + 1) olur. Yani her terimdeki artış, o terimin ikinci çarpanı kadardır.

Toplam artış = 3 + 5 + 7 + … + 21.

Bu, 3'ten 21'e kadar ardışık tek sayıların toplamıdır. Terim sayısı: (21 − 3)/2 + 1 = 10. Toplam = (ilk + son)·terim sayısı/2 = (3 + 21)·10/2 = 120.

Alternatif: Σ(2k + 1) = 2·(1 + 2 + … + 10) + 10 = 2·55 + 10 = 120.

Tuzak: Artışı her terim için sabit 1 sanıp 10 bulmak ya da ikinci çarpanları toplarken terim sayısını 11 almak hatalı sonuç verir.

Doğru cevap C.

Büyük çarpımları tek tek hesaplamak yerine sayıları ortak bir değişkene bağlayalım. a = 1291 dersek 1292 = a + 1 ve 2517 = 2516 + 1 olur.

Kök içi: 2516·(a + 1) − 2517·a = 2516a + 2516 − 2517a = 2516 − a

a = 1291 yazılırsa: 2516 − 1291 = 1225.

√1225 = 35 (çünkü 35² = 1225).

Alternatif bakış: 2516·1292 − 2517·1291 ifadesinde 2517·1291 = (2516 + 1)·1291 = 2516·1291 + 1291 yazılırsa kök içi 2516·(1292 − 1291) − 1291 = 2516 − 1291 = 1225 olur.

Tuzak: Çarpımları doğrudan hesaplamaya çalışmak hem zaman kaybettirir hem de hata riskini artırır; bu tür sorularda sayılar arasındaki farklar (burada 1) değişkenle ifade edilerek ifade sadeleştirilir.

Doğru cevap D.

a ile b arasındaki ilişkiyi bulalım. 25 = 5² olduğundan:

2ᵃ = 25 = 5² = (2ᵇ)² = 2²ᵇ

Tabanlar eşit olduğundan üsler de eşittir: a = 2b.

İfadede a yerine 2b yazalım:

(b² + a²)/(ab) = (b² + (2b)²)/(2b·b) = (b² + 4b²)/(2b²) = 5b²/(2b²) = 5/2.

b ≠ 0 olduğundan (2ᵇ = 5 ≠ 1) sadeleştirme geçerlidir.

Not: a ve b'nin sayısal değerleri (a = log₂25, b = log₂5) hesaplanmadan, yalnızca aralarındaki oran kullanılarak sonuca ulaşılır; ifade a/b oranına bağlı olduğundan (b/a + a/b = 1/2 + 2 = 5/2) sonuç sabittir.

Tuzak: a = 2b yerine b = 2a yazmak aynı sonuca yine 5/2 verir ama genel olarak ilişkiyi ters kurmak başka ifadelerde yanlışa götürür; 25 = 5² olduğuna dikkat edin.

Doğru cevap D.

Eşit oranlarda ortak değere bir harf vermek en pratik yoldur.

• 6/a = b/2 = 3/c = k diyelim.
• Buradan: a = 6/k, b = 2k ve c = 3/k, dolayısıyla 1/c = k/3.
• Parantez içi: b + 1/c = 2k + k/3 = 7k/3.
• Çarpım: a·(b + 1/c) = (6/k)·(7k/3) = 42k/(3k) = 14.

k sadeleştiği için sonuç k'dan bağımsızdır. Örneğin k = 1 alınırsa a = 6, b = 2, c = 3 olur ve 6·(2 + 1/3) = 6·7/3 = 14 bulunur.

Alternatif yol: a·b + a/c şeklinde dağıtılırsa a·b = (6/k)·2k = 12 ve a/c = (6/k)·(k/3) = 2; toplam 14.

Yaygın tuzak: 1/c yerine c'yi kullanmak; bu durumda 6·(2 + 3) = 30 gibi seçeneklerde olmayan bir değer çıkar.

Doğru cevap B.

İki terimde de ortak çarpan (2x − 3) vardır; dışarı alalım:

(2x − 3)·[(x + 1) + (x − 5)] = 0 (2x − 3)·(2x − 4) = 0

Çarpım sıfırsa çarpanlardan en az biri sıfırdır:

• 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3/2
• 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2

Köklerin toplamı: 3/2 + 2 = 7/2.

Alternatif: Açarsak (2x − 3)(2x − 4) = 4x² − 14x + 12 = 0. İkinci dereceden denklemde kökler toplamı −b/a = 14/4 = 7/2 olur.

Tuzak: Ortak çarpanı görmeden her çarpımı ayrı ayrı açıp toplamak işlem hatası riskini artırır. Ayrıca yalnızca köşeli parantez içini sıfıra eşitleyip (2x − 4 = 0) x = 2 bulmak ve 2x − 3 = 0 kökünü unutmak da sık yapılan bir hatadır.

Doğru cevap D.

• Verilen eşitlikten x ve y, k cinsinden yazılır: x/3 = k → x = 3k; y/5 = k → y = 5k.
• Köklerin içini hesaplayalım:
• 3x = 3·3k = 9k → √(9k) = 3√k
• 5y = 5·5k = 25k → √(25k) = 5√k
• Toplam: 3√k + 5√k = 8√k.

Kontrol: k = 1 alınırsa x = 3, y = 5 olur; √9 + √25 = 3 + 5 = 8 = 8√1.

Yaygın tuzak: kök içindeki katsayıyı dışarı alırken karekökünü almayı unutmak (ör. √(9k)'yı 9√k yazmak). Böyle yapılırsa 9√k + 25√k = 34√k gibi seçeneklerde olmayan bir sonuç çıkar; katsayı kökten ancak karekökü alınarak çıkar.

Doğru cevap A.

Ondalık sayıları 10'un kuvvetleriyle yazmak işlemi sadeleştirir.

• 0,004 = 4·10⁻³ ve 0,02 = 2·10⁻².
• Pay: (4·10⁻³)³ = 64·10⁻⁹.
• Payda: (2·10⁻²)⁴ = 16·10⁻⁸.
• Bölüm: (64/16)·10⁻⁹⁻⁽⁻⁸⁾ = 4·10⁻¹ = 0,4.

Alternatif: 0,004 = 0,02·(1/5) olduğundan (0,004)³ = (0,02)³/125. O hâlde ifade (0,02)³/(125·(0,02)⁴) = 1/(125·0,02) = 1/2,5 = 0,4.

Yaygın tuzak: üslerin farkını karıştırıp 10⁻⁹ / 10⁻⁸ işlemini 10 olarak almak; bu durumda sonuç 40 ya da 4 bulunur. Negatif üslerin çıkarılmasında −9 − (−8) = −1 olduğuna dikkat edilmelidir.