2018/1 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap B.

Bir nokta doğrunun üzerindeyse, noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar. (−2, 1) noktasında x = −2, y = 1'dir.

Denklemde yerine yazalım:

n·(−2) + 2·1 − 4 = 0 −2n + 2 − 4 = 0 −2n − 2 = 0 −2n = 2 ⇒ n = −1

Kontrol: n = −1 için doğru −x + 2y − 4 = 0 olur. x = −2, y = 1: −(−2) + 2 − 4 = 2 + 2 − 4 = 0 ✓.

Bu durumda doğru y = x/2 + 2 biçiminde yazılabilir; eğimi 1/2, y eksenini kestiği nokta 2'dir.

Tuzak: Koordinatları yer değiştirerek (x = 1, y = −2) yazmak n + (−4) − 4 = 0'dan n = 8 gibi şıklarda olmayan bir sonuç verir; sıralı ikilide ilk sayı her zaman x'tir. Ayrıca −n·2 terimini +2n yazmak da n = 1 (D) hatasına götürür.

Doğru cevap A.

Yan yana olması istenen kişileri tek bir blok gibi düşünürüz.

• Fatma ile Hakan'ı birleştirip tek kişi sayarsak sıralanacak birim sayısı: 1 blok + 3 kişi = 4 birim. Bu 4 birim 4! = 24 farklı şekilde sıralanır.

• Blok içinde Fatma ile Hakan kendi aralarında yer değiştirebilir (FH veya HF): 2! = 2 yol.

Toplam: 4!·2! = 24·2 = 48.

Kontrol yöntemi: 5 kişinin tüm sıralamaları 5! = 120'dir. Fatma ve Hakan'ın yan yana olmadığı durumlar 120 − 48 = 72 olur; bu da boşluk yöntemiyle (3 kişi 3! = 6 şekilde dizilir, oluşan 4 boşluğun 2'sine Fatma ve Hakan 4·3 = 12 şekilde yerleşir: 6·12 = 72) doğrulanır.

Tuzak: Blok içindeki 2! yer değiştirmeyi unutmak 24 sonucunu verir; bu şıklarda bulunmadığından fark edilebilir ama benzer sorularda sık yapılan bir hatadır.

Doğru cevap A.

Ters fonksiyonun türevi formülü: f(a) = b ise (f⁻¹)′(b) = 1 / f′(a).

• f(a) = 0 olan a'yı bulalım: a³ − 2a² + 3 = 0. Deneme ile a = −1: (−1)³ − 2·(−1)² + 3 = −1 − 2 + 3 = 0 ✓. Yani f(−1) = 0 ve f⁻¹(0) = −1.

• Türev: f′(x) = 3x² − 4x. f′(−1) = 3·1 − 4·(−1) = 3 + 4 = 7.

• (f⁻¹)′(0) = 1 / f′(−1) = 1/7.

Not: a³ − 2a² + 3 = (a + 1)(a² − 3a + 3) biçiminde çarpanlarına ayrılır; ikinci çarpanın diskriminantı 9 − 12 < 0 olduğundan başka gerçel kök yoktur, dolayısıyla a = −1 tektir.

Tuzak: Formülü f′(0) ile uygulamak yanlıştır; türev, çıktısı 0 olan noktada (x = −1) hesaplanmalıdır. f′(0) = 0 olduğundan bu hata tanımsız bir ifadeye götürür.

Doğru cevap A.

Tanımlı işlemlerde yapılacak tek şey, verilen kuralda x ve y yerine sayıları doğru yerleştirmektir.

• Kural: x∆y = x + y − 2xy.
• x = 2 ve y = 5 yazılır: 2∆5 = 2 + 5 − 2·2·5.
• Çarpma önce yapılır: 2·2·5 = 20.
• Sonuç: 7 − 20 = −13.

İşlem sırası burada belirleyicidir: önce çarpma, sonra toplama ve çıkarma yapılır. 2xy ifadesi 2·x·y demektir; yani üç sayının çarpımıdır.

Yaygın tuzak: 2xy terimini xy (=10) gibi hesaplayıp 7 − 10 = −3 bulmak ya da işareti ters çevirip +13 elde etmek. Kuraldaki katsayı 2 çarpıma dahildir, bu yüzden çıkarılan değer 20'dir.

Doğru cevap E.

Bir fonksiyonun grafiğine x = a noktasında çizilen teğetin eğimi, türevin o noktadaki değeridir: m = f′(a).

• Türevi terim terim alalım (xⁿ → n·xⁿ⁻¹):

f′(x) = 4x³ + 3x² − 6x + 1.

• x = 1 yazalım: f′(1) = 4·1 + 3·1 − 6·1 + 1.
• Hesap: 4 + 3 − 6 + 1 = 2.

Dolayısıyla teğetin eğimi 2'dir.

Not: Teğet doğrusunun denklemi istenseydi f(1) = 1 + 1 − 3 + 1 = 0 bulunur ve teğet y = 2(x − 1) olurdu; ancak soruda yalnızca eğim soruluyor.

Yaygın tuzak: eğim yerine fonksiyonun değeri f(1) = 0'ı hesaplayıp C şıkkını seçmek. Eğim türevden gelir, fonksiyon değerinden değil.

Doğru cevap D.

Sonsuzda polinom oranlarının limitinde yalnızca en büyük dereceli terimler belirleyicidir.

• Pay: (2x³ + 7x − 1)⁶ ifadesinin baş terimi (2x³)⁶ = 2⁶·x¹⁸ = 64x¹⁸.
• Payda: (2x⁶ − 15x² + x)³ ifadesinin baş terimi (2x⁶)³ = 2³·x¹⁸ = 8x¹⁸.
• Pay ve paydanın dereceleri eşittir (18). Bu durumda limit, baş katsayıların oranıdır: 64/8 = 8.

Daha açık yazılırsa: pay ve payda x¹⁸'e bölünür; pay (2 + 7/x² − 1/x³)⁶ → 2⁶, payda (2 − 15/x⁴ + 1/x⁵)³ → 2³ olur.

Yaygın tuzak: üsleri gözden kaçırıp yalnızca 2/2 = 1 oranına bakmak ya da derecelerin farklı olduğunu sanıp limiti 0 veya ∞ bulmak. Parantez dışındaki üsler hem dereceyi hem de katsayıyı değiştirir.

Doğru cevap E.

Grafik (0, 30) ve (6, 0) noktalarından geçen bir doğrudur; yani benzin sabit hızla tükenmektedir.

• Saatlik tüketim: 30 litre 6 saatte bitiyor → 30/6 = 5 litre/saat.
• Benzin miktarı: B(t) = 30 − 5t.
• 10 litre kalması için: 30 − 5t = 10 → 5t = 20 → t = 4 saat.

Kontrol: 4 saatte 4·5 = 20 litre harcanır, 30 − 20 = 10 litre kalır.

Oran yoluyla da görülebilir: 10 litre, başlangıç miktarının üçte biridir; yani benzinin üçte ikisi harcanmıştır. Toplam sürenin üçte ikisi 6·2/3 = 4 saattir.

Yaygın tuzak: 10 litrenin harcandığı anı bulup 2 saat cevabını seçmek. Soru harcanan değil, kalan miktarı soruyor.

Doğru cevap C.

Değişken değiştirme: u = sin x dersek du = cos x dx olur.

• İntegral ∫ u⁵ du = u⁶/6 biçimine gelir; yani belirsiz integral sin⁶x / 6'dır.
• Sınırlar: x = π/2 için sin(π/2) = 1; x = −π/2 için sin(−π/2) = −1.
• Değer: [sin⁶x / 6] = 1⁶/6 − (−1)⁶/6 = 1/6 − 1/6 = 0.

Simetri ile kısa yol: g(x) = sin⁵x · cos x fonksiyonu tektir, çünkü sin x tek, cos x çifttir; tek kuvvetli sinüs ile kosinüsün çarpımı tek fonksiyon olur (g(−x) = −g(x)). Tek bir fonksiyonun −a ile a arasındaki integrali her zaman 0'dır.

Yaygın tuzak: yalnızca üst sınırı yerine koyup 1/6 bulmak ya da (−1)⁶'yı −1 sanarak 1/3 elde etmek. Çift kuvvette (−1)⁶ = 1'dir.