2018/2 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap D.

S = 1/3 + 2/3² + 3/3³ + 4/3⁴ + … olsun.

Her iki tarafı 1/3 ile çarpalım: S/3 = 1/3² + 2/3³ + 3/3⁴ + …

Alt alta çıkaralım (aynı paydalı terimler eşleşir): S − S/3 = 1/3 + 1/3² + 1/3³ + …

Sağ taraf ilk terimi 1/3, ortak çarpanı 1/3 olan geometrik seridir: (1/3)/(1 − 1/3) = (1/3)/(2/3) = 1/2.

Böylece (2/3)·S = 1/2 ⇒ S = 3/4.

Genel formül: |x| < 1 için ∑ n·xⁿ = x/(1 − x)². x = 1/3 yazılırsa (1/3)/(4/9) = 9/12 = 3/4 bulunur.

Kontrol: İlk terimler 0,333 + 0,222 + 0,111 + 0,049 + 0,021 + … ≈ 0,74 değerine yaklaşır; bu da 0,75 ile uyumludur.

Tuzak: Seriyi yalnızca geometrik seri sanıp ∑(1/3)ⁿ = 1/2 bulmak B şıkkına götürür; paydaki n katsayısı ek bir işlem gerektirir.

Doğru cevap B.

Normal doğru, teğete değme noktasında dik olan doğrudur. Teğet eğimi m ise normal eğimi −1/m'dir (m ≠ 0).

• Teğetin eğimi türevden bulunur. Zincir kuralıyla:

f′(x) = cos(x/3)·(1/3)

• x = 0'da: f′(0) = (1/3)·cos 0 = (1/3)·1 = 1/3. Teğetin eğimi 1/3'tür.

• Normalin eğimi: m_normal = −1 / (1/3) = −3.

Değme noktası (0, sin 0) = (0, 0) olduğundan normal doğrunun denklemi y = −3x olur.

Tuzak: Teğet eğimini sorulan değer sanıp 1/3 aramak ya da normal eğimini bulurken yalnızca ters alıp işareti değiştirmeyi unutmak (3, D şıkkı) sık yapılan hatalardır. Zincir kuralında iç fonksiyonun türevi olan 1/3 çarpanını atlamak da teğet eğimini 1, normal eğimini −1 gibi yanlış bir değere götürür.

Doğru cevap C.

Her terim 3 azaltıldığında toplamdaki azalma, terim sayısı × 3 olur. Bu yüzden önce kaç terim olduğunu bulmak gerekir.

• Dizi 7'den başlıyor, 2'şer artıyor ve 57'de bitiyor (ardışık tek sayılar).
• Terim sayısı = (son terim − ilk terim) / artış + 1 = (57 − 7)/2 + 1 = 25 + 1 = 26.
• Toplam azalma = 26 · 3 = 78.

Kontrol: 1'den 57'ye kadar 29 tek sayı vardır; bunlardan 1, 3 ve 5 çıkarılınca 29 − 3 = 26 terim kalır.

Yaygın tuzak: terim sayısında +1'i unutup 25 terim bulmak; bu durumda 25·3 = 75 (B şıkkı) seçilir. Uç değerlerin ikisi de toplamda yer aldığı için formüle 1 eklenmelidir.

Doğru cevap A.

Birim (özdeşlik) fonksiyon, her x'i kendisine götüren fonksiyondur: f(x) = x.

Buna göre (a/2)x² − (b/3)x − c = x olmalıdır; bu eşitlik her x için sağlanacağından iki taraftaki karşılık gelen katsayılar eşit olmalıdır:

• x² katsayısı: a/2 = 0 ⇒ a = 0
• x katsayısı: −b/3 = 1 ⇒ b = −3
• Sabit terim: −c = 0 ⇒ c = 0

a + b + c = 0 + (−3) + 0 = −3.

Kontrol: a = 0, b = −3, c = 0 için f(x) = 0·x² − (−3/3)x − 0 = x ✓.

Tuzak: −b/3 = 1 eşitliğinde eksi işaretini gözden kaçırıp b = 3 bulmak E şıkkına götürür. Birim fonksiyonu sabit fonksiyon f(x) = 1 ile karıştırmak da farklı katsayı eşitlikleri kurulmasına ve yanlış sonuca yol açar.

Doğru cevap D.

f⁻¹(6) = a demek, f(a) = 6 demektir. Yani f(x) = 6 denklemini tanım kümesinde çözmek yeterlidir.

• x² + 4x − 6 = 6 → x² + 4x − 12 = 0.
• Çarpanlara ayıralım: (x + 6)(x − 2) = 0 → x = −6 veya x = 2.
• Tanım kümesi [−2, ∞) olduğundan x = −6 kümenin dışındadır; geçerli çözüm x = 2.

Kontrol: f(2) = 4 + 8 − 6 = 6.

Tanım ve değer kümelerinin anlamı: f(x) = (x + 2)² − 10 yazılırsa fonksiyonun x ≥ −2'de artan olduğu ve en küçük değerinin −10 olduğu görülür; bu kısıtlama f'yi birebir ve örten yapar, böylece tersi tanımlıdır.

Yaygın tuzak: f⁻¹(6) yerine f(6) = 54 hesaplamak ya da tanım kümesini dikkate almayıp −6'yı da çözüm saymak.

Doğru cevap C.

Tanımlı işlemde x yerine 3, y yerine a yazılır ve oluşan denklem çözülür.

• Kural: x∆y = 2x − y + xy.
• x = 3, y = a: 3∆a = 2·3 − a + 3·a = 6 − a + 3a = 6 + 2a.
• Denklem: 6 + 2a = 8 → 2a = 2 → a = 1. Bulunan değer C şıkkıdır.

Kontrol: 3∆1 = 2·3 − 1 + 3·1 = 6 − 1 + 3 = 8.

Yaygın tuzak: x ile y'nin yerini karıştırıp a∆3 hesaplamak. Bu durumda 2a − 3 + 3a = 8 → 5a = 11 gibi tam sayı olmayan bir sonuç çıkar. İşlemde sıranın önemli olduğuna (2x ile −y katsayıları farklıdır) dikkat edilmelidir.

Doğru cevap E.

Kitapçıkta nokta (.) çarpma işareti olarak kullanılmıştır.

Ortak çarpanlara göre terimleri gruplayalım:

29·47 + 29·53 = 29·(47 + 53) = 29·100 = 2900 71·49 + 71·51 = 71·(49 + 51) = 71·100 = 7100

Toplam: 2900 + 7100 = 10000.

Daha kısa yol: 29·100 + 71·100 = (29 + 71)·100 = 100·100 = 10000 = 10⁴.

Tuzak: Terimleri yazıldıkları sırayla ikişer ikişer toplamaya çalışmak (29·47 + 71·49) ortak çarpan içermediği için işlemi uzatır. Ayrıca sayıları ondalık sayı (29,47 gibi) sanmak toplamı yaklaşık 200 yapar ve şıklardan 10² seçilmesine yol açar; bu soruda nokta ondalık ayırıcı değil çarpma işaretidir.

Doğru cevap E.

Paydadaki köklü ifadeler eşleniği ile genişletilerek rasyonel hâle getirilir.

• (√2 − 1)(√2 + 1) = (√2)² − 1² = 2 − 1 = 1.
• Bu yüzden:
• 1/(√2 − 1) = (√2 + 1)/1 = √2 + 1
• 1/(√2 + 1) = (√2 − 1)/1 = √2 − 1
• Toplam: (√2 + 1) + (√2 − 1) = 2√2.

Alternatif: kesirleri ortak paydada toplayalım: [(√2 + 1) + (√2 − 1)] / [(√2 − 1)(√2 + 1)] = 2√2 / 1 = 2√2.

Yaygın tuzak: paydaları doğrudan toplamak (1/(2√2) gibi) ya da eşlenikle genişletirken işaretleri karıştırıp 1 veya 2 bulmak. Payda çarpımı iki kare farkı olarak 1'e eşittir.