2018/3 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap C.

Bir grafiğin bir noktada x eksenine teğet olması iki koşul ister: nokta grafiğin üzerinde olmalı (f(1) = 0) ve o noktadaki teğetin eğimi sıfır olmalı (f′(1) = 0), çünkü x ekseninin eğimi 0'dır.

1. koşul – nokta grafikte: f(1) = 2·1⁴ − a·1² + b = 2 − a + b = 0.

2. koşul – eğim sıfır: f′(x) = 8x³ − 2ax olduğundan f′(1) = 8 − 2a = 0 → a = 4.

Bu değeri ilk denklemde yerine koyarsak 2 − 4 + b = 0 → b = 2.

Sonuç: a + b = 4 + 2 = 6.

Kontrol: f(x) = 2x⁴ − 4x² + 2 = 2(x² − 1)², yani x = 1 çift katlı köktür; grafik x eksenine bu noktada değip geri döner. Yalnızca f(1) = 0 koşulunu kullanıp teğetlik (türev) koşulunu atlayan kişi a ile b'yi ayrı ayrı bulamaz; iki bilinmeyen için iki denklem gerektiğini unutmayın.

Doğru cevap E.

Fonksiyonun içindeki ifade (x + 3), istenen değere eşitlenerek x bulunur ve sağ tarafta yerine konur.

f(2) için: x + 3 = 2 → x = −1. Buradan f(2) = 2·(−1) − 3 = −2 − 3 = −5.

f(3) için: x + 3 = 3 → x = 0. Buradan f(3) = 2·0 − 3 = −3.

Toplam: f(2) + f(3) = −5 + (−3) = −8.

İsterseniz fonksiyonu açık hâle de getirebilirsiniz: x + 3 = t dersek x = t − 3 olur ve f(t) = 2(t − 3) − 3 = 2t − 9 bulunur. O zaman f(2) = 4 − 9 = −5, f(3) = 6 − 9 = −3 çıkar; sonuç yine −8'dir.

Sık yapılan hata, f(2) için doğrudan x = 2 yazıp 2·2 − 3 = 1 hesaplamaktır; oysa 2 değeri x'e değil, (x + 3) ifadesine karşılık gelir.

Doğru cevap C.

Üst sınırı x olan belirli integralin x'e göre türevi, integrandın x'teki değerine eşittir (Analizin Temel Teoremi):

d/dx [ ∫ (0'dan x'e) g(t) dt ] = g(x).

Burada g(t) = t²·f(t) olduğundan eşitliğin iki tarafının türevini alırız:

Sol taraf: x²·f(x) Sağ taraf: (x⁴ − 3x³)′ = 4x³ − 9x²

Böylece x²·f(x) = 4x³ − 9x² ve x ≠ 0 için f(x) = 4x − 9 bulunur.

x = 1 yazarsak f(1) = 4 − 9 = −5.

Doğrudan x = 1 koyarak da hesaplanabilir: 1²·f(1) = 4·1 − 9·1 = −5.

Dikkat: Sağ taraftaki ifadeye x = 1 yazıp 1 − 3 = −2 sonucunu f(1) sanmak yaygın bir hatadır; −2 integralin değeridir, f(1) değil. f'yi bulmak için mutlaka önce türev alınmalıdır.

Doğru cevap D.

Fonksiyon bir bileşke fonksiyondur: dıştaki fonksiyon kare alma, içteki fonksiyon tan x. Bu yüzden zincir kuralı uygulanır.

Adımlar:

• f(x) = (tan x)² olduğundan f′(x) = 2·tan x·(tan x)′ olur.
• (tan x)′ = 1 + tan²x = 1/cos²x'tir.
• Böylece f′(x) = 2·tan x·(1 + tan²x) bulunur.
• x = π/4 için tan(π/4) = 1'dir.
• f′(π/4) = 2·1·(1 + 1²) = 2·2 = 4.

Aynı sonuca 1/cos²x ile de ulaşılır: cos(π/4) = √2/2, cos²(π/4) = 1/2, dolayısıyla 1/cos²(π/4) = 2 ve f′(π/4) = 2·1·2 = 4.

Tuzak: Türevi yalnızca 2·tan x diye alıp içteki fonksiyonun türevini (1 + tan²x) çarpmayı unutmak 2 sonucunu verir; bu da B şıkkıdır. Zincir kuralında içteki fonksiyonun türevi mutlaka çarpan olarak eklenmelidir.

Doğru cevap D.

Üsler çok büyük olduğu için doğrudan hesap yapılamaz; kilit nokta, iki tabanın eşlenik olmasıdır.

Adımlar:

• (2 − √3)·(2 + √3) = 2² − (√3)² = 4 − 3 = 1 (iki kare farkı).
• Büyük üssü parçalayalım: (2 + √3)²⁰⁰⁶ = (2 + √3)²⁰⁰⁵ · (2 + √3).
• İfade şu hâle gelir: (2 − √3)²⁰⁰⁵ · (2 + √3)²⁰⁰⁵ · (2 + √3).
• Aynı üslü çarpanlar birleştirilir: [(2 − √3)(2 + √3)]²⁰⁰⁵ = 1²⁰⁰⁵ = 1.
• Sonuç: 1 · (2 + √3) = 2 + √3.

Tuzak: Üslerin farklı olduğunu gözden kaçırıp ifadeyi doğrudan 1 kabul etmek A şıkkına götürür. Üsler eşitlenmeden eşlenik çarpımı uygulanamaz; fazla kalan tek (2 + √3) çarpanı sonucu belirler.

Doğru cevap B.

İki doğru ile y ekseni bir üçgen oluşturur. Üçgenin köşeleri; doğruların y eksenini kestiği noktalar ve iki doğrunun kesişim noktasıdır.

Adımlar:

• x + y + 2 = 0 doğrusunda x = 0 alınırsa y = −2 → (0, −2).
• 2x − y + 4 = 0 doğrusunda x = 0 alınırsa y = 4 → (0, 4).
• Kesişim: y = −x − 2 ve y = 2x + 4 eşitlenir → −x − 2 = 2x + 4 → 3x = −6 → x = −2, y = 0. Kesişim noktası (−2, 0).
• Taban y ekseni üzerindedir: uzunluğu 4 − (−2) = 6 birim.
• Yükseklik, kesişim noktasının y eksenine uzaklığıdır: |−2| = 2 birim.
• Alan = (6 · 2)/2 = 6 br².

Tuzak: Tabanı x ekseni üzerinde aramak ya da y eksenini kesim noktalarının işaretlerini göz ardı edip taban uzunluğunu 4 − 2 = 2 almak yanlış sonuç verir. Uzunluk, iki noktanın farkının mutlak değeridir.

Doğru cevap B.

x değerini tek tek bulmaya gerek yoktur; verilen ifadenin karesini almak yeterlidir.

Adımlar:

• x − 1/x = 4 eşitliğinin iki tarafının karesi alınır: (x − 1/x)² = 16.
• Sol taraf açılır: x² − 2·x·(1/x) + 1/x² = x² − 2 + 1/x².
• Böylece x² − 2 + 1/x² = 16 olur.
• Buradan x² + 1/x² = 16 + 2 = 18 bulunur.

Kontrol: x − 1/x = 4 denklemi x² − 4x − 1 = 0 verir, kökler x = 2 ± √5'tir. Örneğin x = 2 + √5 için 1/x = √5 − 2 olur; x² = 9 + 4√5, 1/x² = 9 − 4√5, toplamları 18'dir.

Tuzak: Orta terimin işaretini karıştırıp (x − 1/x)² açılımında +2 yazmak 16 − 2 = 14 sonucunu, yani A şıkkını verir. Farkın karesinde orta terim −2·x·(1/x) = −2'dir; bu yüzden 2 eklenmelidir.

Doğru cevap A.

Üslü terimlerin hepsi 3'ün kuvvetidir; en küçük kuvvet olan 3ˣ⁺¹ ortak çarpan parantezine alınır.

Adımlar:

• 3ˣ⁺³ = 3²·3ˣ⁺¹ = 9·3ˣ⁺¹.
• 4·3ˣ⁺² = 4·3·3ˣ⁺¹ = 12·3ˣ⁺¹.
• 4·3ˣ⁺¹ olduğu gibi kalır.
• Toplam: (9 + 12 + 4)·3ˣ⁺¹ = 25·3ˣ⁺¹ = 225.
• 3ˣ⁺¹ = 225/25 = 9 = 3².
• Üsler eşitlenir: x + 1 = 2 → x = 1.

Kontrol: x = 1 için 3⁴ + 4·3³ + 4·3² = 81 + 108 + 36 = 225 sağlanır.

Tuzak: Ortak çarpanı 3ˣ alıp katsayıları 27, 36 ve 12 olarak toplamak da doğru yoldur (75·3ˣ = 225 → 3ˣ = 3 → x = 1). Hata genellikle 3ˣ⁺¹ çarpanı bulunduktan sonra doğrudan x = 2 yazmaktan doğar; bulunan üs x değil x + 1'dir.