2019/1 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap E.

Önce parantez içlerini ortak paydada (18) toplayıp çıkarırız.

Birinci parantez: 2/9 = 4/18 olduğundan 4/18 + 1/18 = 5/18.

İkinci parantez: 7/9 = 14/18 olduğundan 14/18 − 5/18 = 9/18.

Bölme: (5/18) : (9/18) işleminde ikinci kesir ters çevrilip çarpılır: 5/18 · 18/9 = 5/9.

Paydalar aynı olduğu için bölme doğrudan payların oranına da indirgenebilir: 5 : 9 = 5/9.

Dikkat: 9/18 kesrini 1/2'ye sadeleştirip 5/18 · 2 = 10/18 = 5/9 şeklinde de aynı sonuca ulaşılır. Bölme işleminde ikinci kesri ters çevirmeyi unutup çarpmak (5/18 · 9/18) çok küçük ve şıklarda olmayan bir değer verir.

Doğru cevap B.

Bu integral simetrik bir aralıkta (−π'den π'ye) alınıyor; bu yüzden önce integrandın tek mi çift mi olduğuna bakılır.

g(x) = x·sin²x olsun. x yerine −x yazarsak: g(−x) = (−x)·sin²(−x) = (−x)·(−sin x)² = −x·sin²x = −g(x).

Demek ki g tek fonksiyondur (x tek, sin²x çift; tek × çift = tek).

Tek bir fonksiyonun −a'dan a'ya integrali her zaman sıfırdır, çünkü grafiğin sağ taraftaki alanı sol taraftaki alanı işaretçe götürür: ∫ (−a'dan a'ya) g(x) dx = 0.

Dolayısıyla sonuç 0'dır.

İstenirse doğrudan hesap da yapılabilir: sin²x = (1 − cos2x)/2 yazılıp kısmi integrasyonla belirsiz integral bulunur; sınırlar yerine konduğunda da 0 çıkar. Ancak sınavda simetri gözlemi çok daha hızlıdır. Uyarı: 0'dan π'ye integral (π²/4) ile karıştırılmamalıdır.

Doğru cevap A.

Logaritma fonksiyonunun türev kuralı: f(x) = ln(u(x)) ise f′(x) = u′(x) / u(x).

Burada u(x) = x² − x + 1, dolayısıyla u′(x) = 2x − 1.

Böylece f′(x) = (2x − 1)/(x² − x + 1).

x = 0 yazalım:

• Pay: 2·0 − 1 = −1
• Payda: 0 − 0 + 1 = 1

f′(0) = −1/1 = −1.

Not: x² − x + 1 ifadesinin diskriminantı 1 − 4 = −3 < 0 olduğundan her x için pozitiftir; yani fonksiyon tüm gerçel sayılarda tanımlıdır ve x = 0'da türev almak sorunsuzdur.

Sık yapılan hata, zincir kuralını unutup f′(x) = 1/(x² − x + 1) yazmak ve f′(0) = 1 bulmaktır; iç fonksiyonun türevi (2x − 1) ile çarpmak şarttır.

Doğru cevap B.

Genel terimi iki kesre ayıralım: (4ⁿ − 3ⁿ)/12ⁿ = 4ⁿ/12ⁿ − 3ⁿ/12ⁿ = (1/3)ⁿ − (1/4)ⁿ.

Her iki parça da oranı 1'den küçük birer geometrik seridir, dolayısıyla ayrı ayrı yakınsar ve toplam, toplamların farkıdır.

n = 1'den başlayan geometrik seri için formül: ∑ rⁿ = r/(1 − r), |r| < 1.

Birinci seri: ∑ (1/3)ⁿ = (1/3)/(1 − 1/3) = (1/3)/(2/3) = 1/2.

İkinci seri: ∑ (1/4)ⁿ = (1/4)/(1 − 1/4) = (1/4)/(3/4) = 1/3.

Sonuç: 1/2 − 1/3 = 3/6 − 2/6 = 1/6.

Dikkat: Seri n = 1'den başladığı için 1/(1 − r) formülü değil r/(1 − r) formülü kullanılır. n = 0'dan başlıyormuş gibi hesaplanırsa 3/2 − 4/3 = 1/6 yine çıkar gibi görünse de bu tesadüftür (n = 0 terimi 1 − 1 = 0); genel olarak başlangıç indisine her zaman dikkat edilmelidir.

Doğru cevap D.

Bir sayının sağına rakam yazmak, sayıyı 10 ile çarpıp o rakamı eklemek demektir.

Adımlar:

• İki basamaklı sayıya N diyelim (N = ab = 10a + b).
• Sağına 2 yazılınca oluşan üç basamaklı sayı ab2 = 10·N + 2 olur.
• Yeni sayı eskisinden 281 fazladır: 10N + 2 = N + 281.
• 9N = 279 → N = 31.
• Rakamlar a = 3, b = 1; toplamları 3 + 1 = 4.

Kontrol: 31'in sağına 2 yazılınca 312 olur; 312 − 31 = 281 sağlanır.

Tuzak: Sağa rakam yazmayı toplama gibi düşünüp ab + 2 = ab + 281 gibi bir denklem kurmak ya da yeni sayıyı 100 ile çarpmak yanlıştır. Sağa bir basamak eklemek basamak değerlerini bir kademe kaydırır, yani sayı 10 ile çarpılır.

Doğru cevap A.

İki terim de 2ˣ içerdiği için 2ˣ ortak çarpan parantezine alınır.

Adımlar:

• 2ˣ⁺² = 2ˣ·2² = 4·2ˣ olduğundan 7·2ˣ⁺² = 28·2ˣ olur.
• Denklem: 28·2ˣ + 8·2ˣ = 72.
• 36·2ˣ = 72 → 2ˣ = 2.
• 2ˣ = 2¹ olduğundan x = 1.

Kontrol: x = 1 için 7·2³ + 8·2 = 56 + 16 = 72 sağlanır.

Tuzak: 2ˣ⁺² ifadesini 2ˣ + 2 ya da 2·2ˣ gibi açmak yanlış katsayı üretir. Üs toplamı çarpıma dönüşür: aᵐ⁺ⁿ = aᵐ·aⁿ; burada 2ˣ⁺² = 4·2ˣ'tir. Ayrıca 7·2ˣ⁺² ifadesini (7·2)ˣ⁺² = 14ˣ⁺² diye okumak da sık yapılan bir hatadır; katsayı yalnızca kuvvetle çarpılır, tabana eklenmez.

Doğru cevap D.

A ve B birbirinin eşleniğidir; çarpımları iki kare farkı özdeşliğiyle bulunur.

Adımlar:

• (a + b)(a − b) = a² − b² özdeşliği kullanılır.
• Burada a = √5, b = 1'dir.
• A·B = (√5 + 1)(√5 − 1) = (√5)² − 1² = 5 − 1 = 4.

Dağılma ile kontrol: √5·√5 − √5·1 + 1·√5 − 1·1 = 5 − √5 + √5 − 1 = 4. Köklü terimler birbirini götürür ve sonuç rasyonel bir sayı çıkar.

Tuzak: (√5)² değerini 5 yazıp 1² terimini çıkarmayı unutmak 5 sonucuna (E şıkkı), (√5)² yerine 25 yazmak ise 24 gibi şıklarda olmayan bir değere götürür. Eşlenik çarpımında kök içindeki sayıdan diğer terimin karesi mutlaka çıkarılmalıdır. Bu yöntem, paydadaki köklerden kurtulmak (paydayı rasyonel yapmak) için de kullanılır.

Doğru cevap C.

İki doğru ve x ekseni bir üçgen oluşturur. Taban x ekseni üzerindedir, tepe noktası iki doğrunun kesişimidir.

Adımlar:

• y = 3x + 6 doğrusunda y = 0 → 3x = −6 → x = −2; nokta (−2, 0).
• y = 6 − 3x doğrusunda y = 0 → 3x = 6 → x = 2; nokta (2, 0).
• Kesişim: 3x + 6 = 6 − 3x → 6x = 0 → x = 0, y = 6; nokta (0, 6).
• Taban uzunluğu: 2 − (−2) = 4 birim.
• Yükseklik: tepe noktasının x eksenine uzaklığı, yani 6 birim.
• Alan = (4 · 6)/2 = 12 br².

Tuzak: Alanı hesaplarken 1/2 çarpanını unutmak 24 sonucunu verir; bu şıklarda yoktur ama öğrenciyi kararsız bırakır. Diğer sık hata, tabanı yalnızca bir doğrunun kestiği noktaya göre 2 birim alıp alanı 6 bulmaktır (A şıkkı). Üçgenin tabanı iki kesim noktası arasındaki tüm uzunluktur.