2019/2 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap D.

x = 0 yazıldığında pay 1 − 1 = 0, payda 1 − 1 = 0 olur; yani 0/0 belirsizliği vardır. Payı çarpanlara ayırarak belirsizlik giderilir.

Adımlar:

• 4ˣ = (2ˣ)² olduğundan pay iki kare farkıdır: 1 − 4ˣ = 1 − (2ˣ)² = (1 − 2ˣ)(1 + 2ˣ).
• İfade: (1 − 2ˣ)(1 + 2ˣ)/(1 − 2ˣ).
• x ≠ 0 iken (1 − 2ˣ) ≠ 0 olduğundan sadeleşir: sonuç 1 + 2ˣ.
• lim(x→0) (1 + 2ˣ) = 1 + 2⁰ = 1 + 1 = 2.

L'Hospital ile kontrol: Payın türevi −4ˣ·ln4, paydanın türevi −2ˣ·ln2. x = 0'da oran (ln4)/(ln2) = (2·ln2)/(ln2) = 2 çıkar.

Tuzak: 4ˣ ile 2ˣ arasındaki (2ˣ)² ilişkisini fark etmeyip limiti 4/2 ya da 1 − 4 gibi kaba bir yolla hesaplamaya çalışmak yanlış şıklara götürür.

Doğru cevap E.

Toplamın türevi, terimlerin türevlerinin toplamıdır. Birinci terimde zincir kuralı gerekir.

Adımlar:

• (cos²x)′ = 2·cos x·(cos x)′ = 2·cos x·(−sin x) = −2·sin x·cos x = −sin 2x.
• (6eˣ)′ = 6eˣ (eˣ'in türevi kendisidir).
• f′(x) = −2·sin x·cos x + 6eˣ.
• x = 0 için: sin 0 = 0, cos 0 = 1, e⁰ = 1.
• f′(0) = −2·0·1 + 6·1 = 6.

Tuzak: cos²x teriminin türevini 2·cos x diye alıp içteki fonksiyonun türevini (−sin x) çarpmayı unutmak f′(0) = 2 + 6 = 8 verir; bu değer şıklarda olmadığı için öğrenci yanlış şıkka yönelebilir. Bir başka hata, (cos x)′ = sin x yazarak işareti karıştırmaktır; burada sin 0 = 0 olduğundan sonuç değişmez ama başka noktalarda yanlış sonuç verir.

Doğru cevap A.

İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, içerme-dışarma ilkesiyle bulunur.

Formül: s(M ∪ T) = s(M) + s(T) − s(M ∩ T).

Adımlar:

• s(M) = 3, s(T) = 4, s(M ∩ T) = 2.
• s(M ∪ T) = 3 + 4 − 2 = 5.

Neden çıkarılıyor? Kesişimdeki 2 eleman hem M'de hem T'de bulunur. M ile T'nin eleman sayıları toplanınca bu ortak elemanlar iki kez sayılmış olur; bu yüzden bir kez çıkarılır.

Venn şemasıyla kontrol: Yalnız M'de 3 − 2 = 1 eleman, yalnız T'de 4 − 2 = 2 eleman, ortakta 2 eleman vardır. Toplam 1 + 2 + 2 = 5.

Tuzak: Eleman sayılarını doğrudan toplayıp 7 bulmak (B şıkkı) ya da kesişimi eklemek (3 + 4 + 2 = 9, C şıkkı) en yaygın hatalardır.

Doğru cevap D.

Ondalık sayıya bölmede pay ve payda 10'un uygun kuvvetiyle genişletilerek payda tam sayıya çevrilir.

Adımlar:

• 18/0,3: pay ve payda 10 ile çarpılır → 180/3 = 60.
• 5/0,125: 0,125 = 1/8 olduğundan 5/(1/8) = 5·8 = 40. (Ya da 1000 ile genişletilir: 5000/125 = 40.)
• Sonuç: 60 − 40 = 20.

Tuzak: Ondalıklı bölmede yalnızca paydayı 10 ile çarpıp payı aynı bırakmak sonucu 10 kat küçültür (örneğin 18/3 = 6 bulunur). Genişletme yapılırken pay ve payda aynı sayıyla çarpılmalıdır. Ayrıca 0,125'in 1/8 olduğunu bilmek işlemi çok hızlandırır; 0,5 = 1/2, 0,25 = 1/4, 0,125 = 1/8 sık kullanılan eşitliklerdir.

Doğru cevap B.

Dikdörtgenin alanı en × boy formülüyle bulunur. En, boyun beşte biri olduğundan uzun kenar boydur.

Adımlar:

• Boya b diyelim; en = b/5 olur.
• Alan: b · (b/5) = 45.
• b²/5 = 45 → b² = 225.
• b = 15 (uzunluk pozitif olduğundan).
• En = 15/5 = 3 m; uzun kenar (boy) 15 m'dir.

Kontrol: 15 · 3 = 45 m² sağlanır.

Tuzak: Denklemi b + b/5 = 45 biçiminde çevre ya da kenar toplamı gibi kurmak yanlıştır; soruda verilen alan olduğu için kenarlar çarpılmalıdır. Ayrıca kısa kenarı (3 m) bulup soruyu bitirmek de hataya yol açar; istenen uzun kenardır.

Doğru cevap D.

İki doğru birbirine dik ise eğimlerinin çarpımı −1'dir: m₁ · m₂ = −1.

Adımlar:

• Birinci doğru: y − (a − 2)x + 1 = 0 → y = (a − 2)x − 1. Eğim m₁ = a − 2.
• İkinci doğru: 2y + x − 7 = 0 → 2y = −x + 7 → y = −x/2 + 7/2. Eğim m₂ = −1/2.
• Diklik şartı: (a − 2) · (−1/2) = −1.
• a − 2 = 2 → a = 4.

Kontrol: a = 4 için m₁ = 2, m₂ = −1/2; çarpım 2 · (−1/2) = −1 sağlanır.

Tuzak: Eğimi bulurken denklemi y yalnız kalacak şekilde düzenlemeden x'in katsayısını doğrudan almak işaret hatasına yol açar (örneğin m₁ = −(a − 2) almak a = 0 verir). Ayrıca diklik yerine paralellik şartını (m₁ = m₂) kullanmak a = 3/2 gibi şıklarda olmayan bir değer üretir.

Doğru cevap D.

Ondalık sayılarla uzun çarpım yapmak yerine ifade bir özdeşlikle sadeleştirilir.

Adımlar:

• (x − y)² = x² − 2xy + y².
• (x − y)² + 4xy = x² − 2xy + y² + 4xy = x² + 2xy + y² = (x + y)².
• x + y = 6,27 + 3,73 = 10.
• Sonuç: 10² = 100.

Doğrudan hesapla kontrol: x − y = 2,54 → (2,54)² = 6,4516; 4xy = 4 · 6,27 · 3,73 = 4 · 23,3871 = 93,5484. Toplam 6,4516 + 93,5484 = 100.

Tuzak: İfadeyi doğrudan hesaplamaya çalışmak hem zaman kaybettirir hem de ondalık çarpımlarda hata riskini artırır. Sınavda (x − y)² + 4xy = (x + y)² ve (x + y)² − 4xy = (x − y)² özdeşliklerini tanımak işlemi saniyelere indirir.

Doğru cevap C.

Pay ve payda, verilen eşitliklerdeki ifadeler cinsinden yazılır.

Adımlar:

• Pay: 2ˣ⁺¹ = 2ˣ · 2 = 32 · 2 = 64.
• Payda: 9ʸ⁺¹ = (3²)ʸ⁺¹ = (3ʸ⁺¹)² = 4² = 16.
• Oran: 64/16 = 4.

Tuzak: 9ʸ⁺¹ ifadesini 9 · 3ʸ⁺¹ ya da 3 · 3ʸ⁺¹ gibi yazmak yanlıştır. Tabanı 9 olan kuvvet, tabanı 3 olan kuvvetin karesidir: 9ⁿ = (3ⁿ)². Benzer biçimde 2ˣ⁺¹ ifadesini 2ˣ + 1 = 33 diye almak da sık yapılan hatadır; üsteki toplama, kuvvetlerin çarpımına dönüşür (aᵐ⁺ⁿ = aᵐ · aⁿ). Bu iki kuralı doğru uygulamak soruyu y'yi hiç bulmadan çözmeyi sağlar.