2019/3 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap B.

Faktöriyelli ifadelerde en küçük faktöriyel ortak çarpan parantezine alınır.

Pay: 11! = 11·10! olduğundan 11! − 10! = 10!·(11 − 1) = 10·10!.

Payda: 9! = 9·8! ve 10! = 10·9·8! = 90·8! olduğundan 8! + 9! + 10! = 8!·(1 + 9 + 90) = 100·8!.

Oran: (10·10!)/(100·8!) ifadesinde 10!/8! = 10·9 = 90 olduğundan (10·90)/100 = 900/100 = 9.

Dikkat: 11! − 10! farkını (11 − 10)! = 1! gibi düşünmek ya da paydayı (8 + 9 + 10)! şeklinde birleştirmek temel hatalardır; faktöriyellerde toplama ve çıkarma bu şekilde yapılamaz, mutlaka ortak çarpan parantezine alınmalıdır.

Doğru cevap A.

x sonsuza giderken rasyonel bir ifadenin limiti, pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimlerle belirlenir.

• Payın derecesi 4, baş terimi 2x⁴.
• Paydanın derecesi 4, baş terimi −x⁴.

Dereceler eşit olduğundan limit, baş katsayıların oranıdır: 2/(−1) = −2.

Açık hesap için pay ve paydayı x⁴'e bölelim: (2 + 1/x² − 1/x³)/(1/x⁴ − 1/x − 1).

x → ∞ iken 1/x², 1/x³, 1/x⁴ ve 1/x terimleri sıfıra gider; geriye 2/(−1) = −2 kalır.

Dikkat: Paydada terimler alışılmış sırada yazılmamıştır (1 − x³ − x⁴); en büyük dereceli terimin −x⁴ olduğunu ve katsayısının −1 olduğunu gözden kaçırıp sonucu 2 bulmak sık yapılan bir hatadır.

Doğru cevap E.

(gof)(1) = g(f(1)) olduğundan önce f(1), sonra bu değerde g hesaplanır.

Adım 1 – f(1): 2x + 1 = 1 → x = 0. Yerine koyarsak f(1) = −2·0 + 3 = 3.

Adım 2 – g(3): 2x − 1 = 3 → x = 2. Yerine koyarsak g(3) = −2 − 3 = −5.

Sonuç: (gof)(1) = g(3) = −5.

Fonksiyonları açık hâle getirerek de kontrol edebiliriz: 2x + 1 = t dersek x = (t − 1)/2 ve f(t) = −(t − 1) + 3 = −t + 4; f(1) = 3. Benzer şekilde 2x − 1 = t dersek x = (t + 1)/2 ve g(t) = −(t + 1)/2 − 3; g(3) = −2 − 3 = −5.

Dikkat: Bileşke işleminde sıra önemlidir; (gof)(1) önce f'nin, sonra g'nin uygulanması demektir. Sırayı ters çevirip f(g(1)) hesaplamak farklı bir sonuç verir.

Doğru cevap E.

Anahtar fikir, a − b ifadesini iki kare farkı olarak görmektir: a − b = (√a)² − (√b)² = (√a − √b)(√a + √b).

• Verilenleri yerine koy: 21 = (√a − √b) · 7, buradan √a − √b = 3.
• Şimdi elimizde iki denklem var: √a + √b = 7 ve √a − √b = 3.
• Taraf tarafa topla: 2√a = 10 → √a = 5 → a = 25.
• Çıkar: 2√b = 4 → √b = 2 → b = 4.
• Kontrol: a − b = 25 − 4 = 21 ve √25 + √4 = 5 + 2 = 7, ikisi de sağlanıyor.
• Sonuç: ab = 25 · 4 = 100.

Kısa yol: ab = (√a · √b)² = (5 · 2)² = 100.

Yaygın tuzak: √a + √b = 7 ifadesinin karesini alıp a + b = 49 sanmak. Aslında (√a + √b)² = a + b + 2√(ab) olduğundan orta terim unutulursa yanlış sonuca (ör. 81) gidilir.

Doğru cevap B.

Önce iki doğrunun kesim noktasını, sonra bu noktanın orijine (0, 0) uzaklığını buluruz.

• İkinci denklemdeki y = 2x − 4 ifadesini birinciye yaz: x + (2x − 4) − 14 = 0.
• 3x − 18 = 0 → x = 6.
• y = 2 · 6 − 4 = 8. Kesim noktası (6, 8).
• Orijine uzaklık: d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

(6, 8, 10) üçlüsü, bilinen (3, 4, 5) dik üçgeninin iki katıdır; bu yüzden karekök hesabına bile gerek kalmadan 10 bulunabilir.

Yaygın tuzak: birinci denklemi x + y = −14 gibi işaret hatasıyla düzenlemek ya da uzaklık yerine x + y toplamını (14) cevap sanmak. Uzaklık her zaman √(x² + y²) formülüyle hesaplanır.

Doğru cevap D.

Bir sayıya bölmek, o sayının çarpmaya göre tersiyle çarpmak demektir: a ÷ b = a · (1/b).

• 0,125 ondalık sayısını kesre çevir: 0,125 = 125/1000 = 1/8.
• Bir x sayısını 1/8'e bölmek: x ÷ (1/8) = x · 8.
• Dolayısıyla 0,125 ile bölmek, 8 ile çarpmakla aynı sonucu verir.

Örnekle kontrol: 2 ÷ 0,125 = 16 ve 2 · 8 = 16.

Yaygın tuzak: 0,125'i 1/4 veya 1/6 gibi yanlış bir kesre çevirmek. Sık kullanılan ondalıkları ezberlemek işe yarar: 0,5 = 1/2, 0,25 = 1/4, 0,125 = 1/8, 0,2 = 1/5.

Doğru cevap A.

Her kesirde ortak üslü çarpanı paranteze alıp sadeleştiririz; sonuç x'ten bağımsız çıkar.

Birinci kesir:

• Pay: 3ˣ⁺² + 3ˣ = 3ˣ · 3² + 3ˣ = 3ˣ(9 + 1) = 10 · 3ˣ.
• Payda: 15 · 3ˣ⁻¹ = 15 · 3ˣ / 3 = 5 · 3ˣ.
• Oran: 10 · 3ˣ / (5 · 3ˣ) = 2.

İkinci kesir:

• Pay ve paydayı 4ˣ⁻³ ile böl: 4ˣ⁻¹ / 4ˣ⁻³ = 4² = 16 ve 4ˣ⁻² / 4ˣ⁻³ = 4¹ = 4.
• Oran: 16 − 4 = 12.

Toplam: 2 + 12 = 14.

Yaygın tuzak: 3ˣ⁻¹ ifadesini 3ˣ · 3 gibi yazmak (doğrusu 3ˣ / 3) ya da üsleri bölerken çıkarma yerine bölme yapmak. aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ kuralı burada her şeyi çözer.

Doğru cevap E.

Tanım doğrudan a Δ b'yi değil, onun çarpmaya göre tersini veriyor; bu yüzden önce 1/(3 Δ 4) bulunur, sonra ters çevrilir.

• a = 3, b = 4 yaz: 1/(3 Δ 4) = 1/3 − 1/4.
• Paydaları eşitle: 1/3 − 1/4 = 4/12 − 3/12 = 1/12.
• 1/(3 Δ 4) = 1/12 ise 3 Δ 4 = 12.

Genel olarak bu işlem a Δ b = ab/(b − a) biçiminde de yazılabilir: 3 · 4 / (4 − 3) = 12.

Yaygın tuzak: tanımdaki sol tarafın ters olduğunu gözden kaçırıp 3 Δ 4 = 1/12 demek ya da 1/3 − 1/4 farkını yanlış işaretle −1/12 bulmak. Şıklarda kesir olmaması, sonucun ters çevrilmesi gerektiğine de işaret eder.