2020/1 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap D.

Paydada bilinmeyen olduğundan değişken dönüşümü yapılır: a = 1/x, b = 1/y denirse sistem doğrusal hâle gelir:

• 3a + 2b = 3
• 6a − b = 1

İkinci denklemden b = 6a − 1 bulunur. Bunu birincide yerine yazalım: 3a + 2(6a − 1) = 3 → 3a + 12a − 2 = 3 → 15a = 5 → a = 1/3. Buradan b = 6·(1/3) − 1 = 2 − 1 = 1.

Şimdi geri dönüşüm: a = 1/x = 1/3 ise x = 3; b = 1/y = 1 ise y = 1.

Kontrol: 3/3 + 2/1 = 1 + 2 = 3 ✓ ve 6/3 − 1/1 = 2 − 1 = 1 ✓.

Dolayısıyla x + y = 3 + 1 = 4.

Tuzak: a ve b değerlerini bulduktan sonra x + y yerine a + b = 4/3 hesaplanırsa seçeneklerde olmayan bir sonuca gidilir; mutlaka tersine çevirip x ve y'ye dönmek gerekir.

Doğru cevap B.

Tek tek harflerin değerini bulmak mümkün değildir (5 bilinmeyen, 3 denklem); ancak istenen A + E toplamı denklemlerin uygun birleşimiyle doğrudan elde edilir.

• Birinci eşitlikten: A + B = C → A = C − B
• Üçüncü eşitlikten: D + E = B → E = B − D

Bu iki ifadeyi toplayalım: A + E = (C − B) + (B − D) = C − B + B − D = C − D

B terimleri birbirini götürür. İkinci eşitlikte C − D = 20 verildiğinden: A + E = 20

Alternatif yol: Üç denklemi alt alta toplamak da aynı sonucu verir. (A + B) + (D + E) = C + B yazılırsa A + D + E = C olur; buradan A + E = C − D = 20.

Tuzak: Harflere tek tek değer vermeye çalışmak gereksiz zaman kaybıdır; bu tür sorularda istenen ifadeyi, verilen eşitlikleri toplayıp çıkararak oluşturmak en hızlı yoldur.

Doğru cevap D.

İki basamaklı bir sayı çözümlenerek yazılır: onlar basamağı 10 ile çarpılır, birler basamağı olduğu gibi eklenir.

• AB = 10A + B
• BA = 10B + A

Toplayalım: AB + BA = (10A + B) + (10B + A) = 11A + 11B = 11(A + B)

Verilen eşitliğe göre 11(A + B) = 154 olduğundan: A + B = 154 / 11 = 14

Örnek kontrol: A = 7, B = 7 alınırsa 77 + 77 = 154 ✓; A = 5, B = 9 alınırsa 59 + 95 = 154 ✓. Rakamlar farklı olabilir ama toplamları her durumda 14'tür.

Genel kural: Bir iki basamaklı sayı ile rakamlarının yer değiştirmesiyle oluşan sayının toplamı her zaman 11'in katıdır ve 11·(rakamlar toplamı) kadardır. Farkı ise 9·(A − B) olur.

Tuzak: AB'yi A·B çarpımı gibi düşünmek yanlış sonuca götürür; AB burada basamak gösterimidir.

Doğru cevap B.

Üstel denklemde 3²ˣ = (3ˣ)² olduğundan değişken dönüşümü yapılır: t = 3ˣ (t > 0).

Denklem ikinci dereceden hâle gelir: t² − 12t + 27 = 0

Çarpanlara ayıralım: çarpımı 27, toplamı 12 olan sayılar 3 ve 9'dur. (t − 3)(t − 9) = 0 → t = 3 veya t = 9

İki kök de pozitif olduğundan ikisi de geçerlidir. Geri dönüşüm:

• 3ˣ = 3 → x = 1
• 3ˣ = 9 = 3² → x = 2

Kökler toplamı: 1 + 2 = 3.

Kısa yol: t köklerinin çarpımı t₁·t₂ = 3^(x₁)·3^(x₂) = 3^(x₁+x₂) = 27 = 3³ olduğundan x₁ + x₂ = 3 doğrudan bulunur.

Tuzak: t kökleri toplamı olan 12'yi x kökleri toplamı sanmak sık yapılan hatadır; istenen x değerlerinin toplamıdır ve bu, t köklerinin çarpımının 3 tabanındaki logaritmasına eşittir.

Doğru cevap B.

Yol 1 – doğrudan açılım:

• A² = (1 + √2)² = 1 + 2√2 + 2 = 3 + 2√2.
• B² = (1 − √2)² = 1 − 2√2 + 2 = 3 − 2√2.
• Toplam: (3 + 2√2) + (3 − 2√2) = 6. Köklü terimler birbirini götürür.

Yol 2 – toplam/çarpım:

• A + B = 2, A · B = 1² − (√2)² = 1 − 2 = −1.
• A² + B² = (A + B)² − 2AB = 4 − 2 · (−1) = 4 + 2 = 6.

İki yol da aynı sonucu verir.

Yaygın tuzak: (1 + √2)² ifadesini 1 + 2 = 3 diye açıp ortadaki 2√2 terimini unutmak (bu durumda da 6 çıkar ama yöntem yanlıştır) ya da ikinci yolda AB = −1 yerine +1 alıp 2 bulmak. Eşlenik çarpımda (1 + √2)(1 − √2) = 1 − 2 = −1 olduğuna dikkat edin.

Doğru cevap C.

cos n sonsuzda bir değere yaklaşmaz, ama −1 ile 1 arasında sınırlıdır. Bu yüzden pay ve paydanın büyüme hızlarını karşılaştırırız.

• Pay: |n · cos n| ≤ n, yani pay en fazla n mertebesinde büyür.
• Payda: n√(n+1) terimi yaklaşık n · √n = n^(3/2) gibi büyür; √(n+2) ise yalnızca √n mertebesindedir. Payda ≈ n^(3/2).
• Oranın mutlak değeri: |n cos n| / (n√(n+1) − √(n+2)) ≤ n / n^(3/2) ≈ 1/√n.
• n → ∞ iken 1/√n → 0 olduğundan, sıkıştırma (sandviç) teoremiyle limit 0'dır.

Yaygın tuzak: cos n'nin limiti olmadığı için limitin de olmadığını düşünmek. Sınırlı bir çarpan, sıfıra giden bir ifadeyle çarpıldığında sonuç yine sıfıra gider; belirleyici olan paydadaki n^(3/2) büyümesidir.

Doğru cevap A.

İntegrand sadeleştirildiğinde tek fonksiyon çıkar ve simetrik aralıkta tek fonksiyonun integrali sıfırdır.

• İki kat açı özdeşliği: sin 2x = 2 sin x cos x, dolayısıyla sin³2x = 8 sin³x cos³x.
• Sadeleştir: sin³2x / cos³x = 8 sin³x (cos x = 0 noktalarındaki süreksizlik giderilebilir türdendir).
• f(x) = 8 sin³x için f(−x) = 8(−sin x)³ = −f(x); fonksiyon tektir.
• Tek fonksiyonun [−π, π] gibi orijine göre simetrik bir aralıktaki integrali 0'dır: ∫ 8 sin³x dx = 0.

Doğrudan kontrol: sin³x = sin x − sin x cos²x, ilkel fonksiyon −cos x + cos³x/3; bu ifade x = π ve x = −π'de aynı değeri aldığı için fark 0 olur.

Yaygın tuzak: payı ve paydayı ayrı ayrı integre etmeye çalışmak ya da sin³2x'i 2 sin³x gibi yanlış açmak.

Doğru cevap C.

Haftanın günleri 7 günde bir tekrar eder; bu yüzden gün numarasının 7'ye bölümünden kalana bakılır.

• 1. gün pazartesi olduğuna göre kalan 1 → pazartesi, kalan 2 → salı, kalan 3 → çarşamba, …, kalan 0 → pazar.
• 500'ü 7'ye böl: 7 · 71 = 497, kalan 500 − 497 = 3.
• Kalan 3, 3. güne yani çarşamba'ya karşılık gelir.

Kontrol: 498. gün 1. günle aynı (pazartesi), 499. gün salı, 500. gün çarşamba.

Yaygın tuzak: '500 gün sonra' ile '500. gün' ifadelerini karıştırmak. 1. gün pazartesi ise 500. gün, birinci günden 499 gün sonradır; 499'un 7'ye bölümünden kalan 2 olduğundan pazartesiden 2 gün ileri gidilir, yine çarşamba bulunur. Kalanı doğrudan 500 üzerinden alıp 'pazartesiden 3 gün sonra = perşembe' demek tipik hatadır.