2020/2 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap D.

Fonksiyonun tanımlı olması için iki koşul birlikte sağlanmalıdır.

1) Karekökün içi negatif olamaz: x − 2 ≥ 0 → x ≥ 2

2) Logaritmanın içi pozitif olmalıdır: 1 − √(x − 2) > 0 → √(x − 2) < 1 İki taraf da negatif olmadığından kare alınabilir: x − 2 < 1 → x < 3

İki koşulun kesişimi: 2 ≤ x < 3, yani [2, 3).

Uç noktaların kontrolü:

• x = 2 için √0 = 0, ln(1 − 0) = ln 1 = 0 → tanımlı, bu yüzden 2 kapalı uçtur.
• x = 3 için √1 = 1, ln(1 − 1) = ln 0 → tanımsız, bu yüzden 3 açık uçtur.

Tuzak: Logaritmanın içinin sıfır olabileceğini düşünüp [2, 3] seçmek veya karekök koşulunda eşitliği unutup (2, 3) benzeri bir aralık seçmek sık görülen hatalardır.

Doğru cevap C.

Taban da üs de değişken olduğundan logaritmik türev kullanılır. u = x² + 1 diyelim; f = uᵘ.

ln f = u·ln u İki tarafın x'e göre türevi: f′/f = u′·ln u + u·(u′/u) = u′(ln u + 1) Buradan: f′(x) = uᵘ · (ln u + 1) · u′, u′ = 2x.

Şimdi x = √(e − 1) değerini yerine koyalım:

• u = x² + 1 = (e − 1) + 1 = e
• uᵘ = eᵉ
• ln u + 1 = ln e + 1 = 2
• u′ = 2x = 2√(e − 1)

f′(√(e − 1)) = eᵉ · 2 · 2√(e − 1) = 4eᵉ√(e − 1)

Tuzak: xⁿ kuralını uygulayıp u·u^(u−1)·u′ yazmak ya da aᵘ kuralıyla uᵘ·ln u·u′ yazmak eksik sonuç verir; taban ve üs birlikte değiştiğinde iki terimin toplamı (ln u + 1) ortaya çıkar.

Doğru cevap D.

Kapalı aralıkta sürekli bir fonksiyonun mutlak ekstremumları ya kritik noktalarda ya da aralığın uç noktalarında oluşur.

1) Kritik nokta: f′(x) = 2x − 3 = 0 → x = 3/2 (aralığın içinde). f(3/2) = 9/4 − 9/2 = 9/4 − 18/4 = −9/4

2) Uç noktalar: f(0) = 0 f(4) = 16 − 12 = 4

3) Karşılaştırma: Değerler: 0, −9/4, 4. Mutlak maksimum = 4 (x = 4'te), mutlak minimum = −9/4 (x = 3/2'de).

Toplam: 4 + (−9/4) = 16/4 − 9/4 = 7/4

Tuzak: Yalnızca kritik noktayı inceleyip uç noktaları atlamak maksimumu kaçırır; parabol yukarı açık olduğundan tepe noktası yalnızca minimumu verir, maksimum mutlaka aralığın bir ucundadır.

Doğru cevap E.

İntegrandı açalım: x(1 + 2 ln x) = x + 2x·ln x.

Kısa yol: (x² ln x)′ = 2x·ln x + x²·(1/x) = 2x ln x + x. Bu tam olarak integranddır. Dolayısıyla bir ilkel fonksiyon F(x) = x² ln x'tir.

Kısmi integrasyonla doğrulama: ∫2x ln x dx için u = ln x, dv = 2x dx alınırsa du = dx/x, v = x²: ∫2x ln x dx = x² ln x − ∫x dx = x² ln x − x²/2. Buna ∫x dx = x²/2 eklenince toplam yine x² ln x olur.

Sınırlar: F(e) = e²·ln e = e²·1 = e² F(1) = 1²·ln 1 = 0

∫ (1'den e'ye) x(1 + 2 ln x) dx = e² − 0 = e²

Tuzak: Kısmi integrasyonda −x²/2 terimini yazıp ∫x dx'i eklemeyi unutmak (e² + 1)/2 gibi bir sonuca götürür; iki parçayı birlikte değerlendirmek gerekir.

Doğru cevap D.

a ve b'yi aynı değişken (c) cinsinden yazıp oranı hesaplarız; c sadeleşir.

• 2a = 3c → a = 3c/2.
• 3b = 5c → b = 5c/3.
• Ortak payda 6: a = 9c/6, b = 10c/6.
• a + b = 19c/6, b − a = c/6.
• (a + b)/(b − a) = (19c/6) / (c/6) = 19.

Kısa yol: c = 6 seçilirse a = 9, b = 10 olur; (9 + 10)/(10 − 9) = 19.

Yaygın tuzak: 2a = 3c eşitliğinden a/c = 2/3 sonucunu çıkarmak. Doğrusu a/c = 3/2'dir; katsayılar çapraz yer değiştirir. Bu hata a ile b'nin büyüklük sırasını bozar ve b − a negatif çıkar.

Doğru cevap A.

İç içe kesri içten dışa doğru sadeleştiririz.

• En içteki paydayı düzenle: 1 − 1/(1 + x) = (1 + x − 1)/(1 + x) = x/(1 + x).
• Dıştaki ifade bunun tersi olur: 1 / (x/(1 + x)) = (1 + x)/x.
• Denklem: (1 + x)/x = 2.
• İçler dışlar çarpımı: 1 + x = 2x → x = 1.

Kontrol: x = 1 için 1/(1 + 1) = 1/2, 1 − 1/2 = 1/2, 1 ÷ (1/2) = 2. Eşitlik sağlanır.

Tanım kümesi notu: x ≠ 0 ve x ≠ −1 olmalıdır; bulunan x = 1 bu koşulları ihlal etmez.

Yaygın tuzak: 1 − 1/(1 + x) ifadesini 1/x veya −x/(1 + x) gibi yanlış sadeleştirmek. Paydayı eşitlerken '1'in (1 + x)/(1 + x) olarak yazılması gerektiğini unutmayın.

Doğru cevap E.

a² + b² ifadesini, verilen fark ve çarpım cinsinden yazmak için tam kare özdeşliğini kullanırız.

• (a − b)² = a² − 2ab + b² → a² + b² = (a − b)² + 2ab.
• Yerine koy: a² + b² = 1² + 2 · 12 = 1 + 24 = 25.
• √(a² + b²) = √25 = 5.

Kontrol: a = 4, b = 3 (veya a = −3, b = −4) seçimi a − b = 1 ve ab = 12 koşullarını sağlar; 4² + 3² = 16 + 9 = 25.

Yaygın tuzak: (a − b)² açılımında 2ab'nin işaretini karıştırıp a² + b² = 1 − 24 gibi negatif bir değer bulmak ya da kök almayı unutup 25'i aramak. Fark verildiğinde a² + b² = (a − b)² + 2ab olur.

Doğru cevap E.

Kenarlara a ve b diyelim. Alan ve köşegen bilgisi, a + b'yi bulmamıza yeter.

• Alan: ab = 2.
• Köşegen (Pisagor): a² + b² = (√5)² = 5.
• (a + b)² = a² + b² + 2ab = 5 + 4 = 9 → a + b = 3 (uzunluk pozitif).
• Çevre: 2(a + b) = 2 · 3 = 6 birim.

Kontrol: kenarlar 1 ve 2 olursa alan 1 · 2 = 2, köşegen √(1 + 4) = √5; çevre 2(1 + 2) = 6.

Yaygın tuzak: a + b = 3 bulunduktan sonra bunu çevre sanıp 3 şıkkını işaretlemek. Dikdörtgenin çevresi iki kısa ve iki uzun kenarın toplamıdır, yani 2(a + b).