2020/3 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap C.

Kenar uzunluğu a olan eşkenar üçgenin alan formülü: Alan = a²·√3 / 4.

a = 2 cm için: Alan = 2²·√3 / 4 = 4√3 / 4 = √3 cm²

Yükseklik üzerinden doğrulama: Eşkenar üçgende yükseklik tabanı ortalar. Yükseklik h, kenarı 2 ve yarım tabanı 1 olan dik üçgenin dik kenarıdır: h² + 1² = 2² → h² = 3 → h = √3 Alan = taban × yükseklik / 2 = 2·√3 / 2 = √3

Ayrıca iki kenar ve aradaki açı formülüyle: Alan = (1/2)·2·2·sin 60° = 2·(√3/2) = √3.

Tuzak: Alan formülünde 4'e bölmeyi unutmak 4√3 gibi bir değere, yüksekliği √3 yerine kenar gibi 2 almak ise 2 sonucuna götürür; yükseklik = a√3/2 bilgisini hatırlamak işi kolaylaştırır.

Doğru cevap E.

Her iki eşitlikte tabanları eşitleyip üsleri karşılaştırırız.

Birinci eşitlik: 2ˣ⁺ʸ = 8 = 2³ → x + y = 3

İkinci eşitlik: 9ʸ = (3²)ʸ = 3²ʸ olduğundan 3ˣ = 3²ʸ → x = 2y

Sistemi çözelim: x = 2y'yi birinci denklemde yerine yazalım: 2y + y = 3 → 3y = 3 → y = 1 x = 2·1 = 2

Kontrol: 2²⁺¹ = 2³ = 8 ✓; 3² = 9 ve 9¹ = 9 ✓.

Tuzak: 3ˣ = 9ʸ eşitliğinden y = 2x yazmak (yönü ters kurmak) x = 1 sonucuna ve D şıkkına götürür. 9 = 3² olduğundan 2 çarpanı y'nin yanına gelir: x = 2y.

Doğru cevap B.

Üç bilinmeyen ve iki denklem olduğundan x, y, z ayrı ayrı bulunamaz; ancak istenen ifade denklemler birleştirilerek elde edilebilir.

Denklemleri alt alta yazalım:

• 3x − y + z = 3
• x − y − 3z = 5

İkisinde de −y bulunduğundan birinciden ikinciyi çıkaralım, y yok olsun: (3x − x) + (−y + y) + (z − (−3z)) = 3 − 5 2x + 4z = −2

Her iki tarafı 2'ye bölelim: x + 2z = −1

Örnek kontrol: z = 0 alınırsa x = −1; birinci denklemden −3 − y = 3 → y = −6; ikinci: −1 + 6 − 0 = 5 ✓.

Tuzak: Denklemleri toplamak (4x − 2y − 2z = 8) y'yi yok etmez ve istenen ifadeye ulaştırmaz; hangi değişkenin yok edilmesi gerektiğine bakarak çıkarma yapılmalıdır.

Doğru cevap E.

Kesirli ifadeyi yalnız bırakıp adım adım çözeriz.

• 1'i sağa at: −(2 − x/3)/(2/3) = 2 − 1 = 1 → (2 − x/3)/(2/3) = −1.
• Paydadaki 2/3 ile çarp: 2 − x/3 = −2/3.
• x/3 = 2 + 2/3 = 8/3.
• x = 8.

Kontrol: x = 8 için 2 − 8/3 = −2/3; (−2/3) ÷ (2/3) = −1; 1 − (−1) = 2. Eşitlik sağlanır.

Yaygın tuzak: kesrin önündeki eksi işaretini payın tamamına dağıtmayı unutmak. Bu durumda (2 − x/3)/(2/3) = +1 alınır ve x = 4 bulunur; D şıkkı bu hatanın sonucudur. Ayrıca 2/3'e bölmenin 3/2 ile çarpmak demek olduğunu unutmayın.

Doğru cevap D.

x = 7 yazıldığında pay −49 + 42 + 7 = 0, payda −49 + 56 − 7 = 0 olur; 0/0 belirsizliği vardır. Pay ve paydayı çarpanlarına ayırıp ortak (x − 7) çarpanını sadeleştiririz.

• Pay: −x² + 6x + 7 = −(x² − 6x − 7) = −(x − 7)(x + 1).
• Payda: −x² + 8x − 7 = −(x² − 8x + 7) = −(x − 7)(x − 1).
• Oran: [−(x − 7)(x + 1)] / [−(x − 7)(x − 1)] = (x + 1)/(x − 1), x ≠ 7.
• x → 7⁺: (7 + 1)/(7 − 1) = 8/6 = 4/3.

L'Hôpital ile kontrol: türevler −2x + 6 ve −2x + 8; x = 7'de −8 / −6 = 4/3.

Yaygın tuzak: 'x → 7⁺' ifadesini görüp sonucun ∞ olduğunu düşünmek. Sağdan yaklaşım, yalnızca payda sıfıra giderken pay sıfırdan farklıysa önem kazanır; burada ortak çarpan sadeleşince fonksiyon x = 7 civarında süreklidir.

Doğru cevap B.

Çarpım kuralını iki kez uygularız.

Birinci türev: f′(x) = (e⁻ˣ)′ · ln x + e⁻ˣ · (ln x)′ = −e⁻ˣ ln x + e⁻ˣ / x.

İkinci türev:

• (−e⁻ˣ ln x)′ = e⁻ˣ ln x − e⁻ˣ / x.
• (e⁻ˣ / x)′ = −e⁻ˣ / x − e⁻ˣ / x².
• Toplam: f″(x) = e⁻ˣ ln x − 2e⁻ˣ / x − e⁻ˣ / x².

x = 1'de: ln 1 = 0 olduğundan f″(1) = 0 − 2/e − 1/e = −3/e.

Yaygın tuzak: e⁻ˣ'in türevini e⁻ˣ almak (zincir kuralındaki −1 çarpanını unutmak) ya da e⁻ˣ/x teriminin türevinde iki parçadan birini atlamak. Bu hatalar genellikle −2/e veya 2/e sonucuna götürür.

Doğru cevap E.

İntegrandda y² ve onun türevine orantılı y bulunduğu için değişken değiştirme uygundur.

• u = y² de; du = 2y dy → y dy = du/2.
• Sınırlar: y = 0 → u = 0; y = √π → u = π.
• İntegral: ∫ (0'dan π'ye) sin u · (du/2) = (1/2) · [−cos u] (0'dan π'ye).
• [−cos u] = −cos π − (−cos 0) = −(−1) + 1 = 2.
• Sonuç: (1/2) · 2 = 1.

Yaygın tuzak: sınırları u'ya göre değiştirmeyi unutup 0 ile √π arasında hesaplamak ya da du = 2y dy'deki 1/2 çarpanını atlayıp 2 bulmak. Değişken değiştirmede hem diferansiyel hem sınırlar birlikte dönüştürülmelidir.

Doğru cevap B.

İç içe kesri sadeleştirip ikinci dereceden bir denkleme ulaşırız.

• Paydadaki ifade: 1 + x/(1 + x) = (1 + x + x)/(1 + x) = (1 + 2x)/(1 + x).
• Denklem: x · (1 + x)/(1 + 2x) = 1.
• İçler dışlar: x + x² = 1 + 2x → x² − x − 1 = 0.
• Diskriminant: Δ = 1 + 4 = 5 > 0, iki farklı reel kök vardır: x = (1 ± √5)/2.
• Kökler x ≠ −1 ve x ≠ −1/2 koşullarını ihlal etmez.
• Vieta: kökler toplamı = −b/a = −(−1)/1 = 1.

Yaygın tuzak: paydayı (1 + x + x) yerine (1 + x) sanıp denklemi x = 1 + x/(1 + x) gibi yanlış kurmak ya da kökler toplamını c/a (−1) ile karıştırmak. Toplam için −b/a, çarpım için c/a kullanılır.