2021/1 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap B.

İkinci dereceden bir polinomun farklı iki reel kökü olması için diskriminant pozitif olmalıdır: Δ = b² − 4ac > 0.

f(x) = x² + 2x + a için katsayılar: a₁ = 1, b = 2, c = a. Δ = 2² − 4·1·a = 4 − 4a

Koşul: 4 − 4a > 0 → 4 > 4a → a < 1

a, 1'den küçük olmalıdır; bu şartı sağlayan en büyük tamsayı 0'dır.

Kontrol:

• a = 0 → x² + 2x = x(x + 2) = 0 → kökler 0 ve −2, farklı iki reel kök ✓
• a = 1 → x² + 2x + 1 = (x + 1)² → çift katlı tek kök (x = −1), farklı iki kök yok ✗

Tuzak: Koşulu Δ ≥ 0 olarak almak a ≤ 1 verir ve 1 seçilir; oysa Δ = 0 durumunda kökler çakışır, "farklı iki kök" için eşitlik dahil edilmez.

Doğru cevap E.

Bu tür sorularda ifadenin karesi alınarak üs adım adım yükseltilir; çünkü x·(1/x) = 1 olduğundan ara terim sabit kalır.

1. adım (kare alma): (x + 1/x)² = x² + 2·x·(1/x) + 1/x² = x² + 2 + 1/x² 3² = 9 olduğundan: x² + 1/x² = 9 − 2 = 7

2. adım (tekrar kare alma): (x² + 1/x²)² = x⁴ + 2 + 1/x⁴ 7² = 49 olduğundan: x⁴ + 1/x⁴ = 49 − 2 = 47

Genel kalıp: x + 1/x = k ise x² + 1/x² = k² − 2 ve x⁴ + 1/x⁴ = (k² − 2)² − 2.

Tuzak: Karesini alırken ortadaki 2 terimini unutmak (x² + 1/x² = 9 sanmak) 9² = 81 gibi yanlış bir zincire, ya da ikinci adımda 2 çıkarmayı unutmak 49'a götürür; her kare almada 2 çıkarılmalıdır.

Doğru cevap C.

Masa sayısına m diyelim. Misafir sayısı her iki durumda da aynıdır.

1. durum: Her masaya 6 kişi oturuyor, 10 kişi ayakta kalıyor. Misafir sayısı = 6m + 10

2. durum: Her masaya 7 kişi oturuyor ve 2 masa boş kalıyor; yani yalnızca m − 2 masa tam dolu. Misafir sayısı = 7(m − 2)

Eşitleyelim: 6m + 10 = 7(m − 2) 6m + 10 = 7m − 14 m = 24 masa

Misafir sayısı = 6·24 + 10 = 144 + 10 = 154

Kontrol: 7'şer oturulduğunda 154 / 7 = 22 masa dolar, 24 − 22 = 2 masa boş kalır ✓.

Tuzak: "İki masa boş kalıyor" ifadesini 7m − 2 gibi kişi sayısı üzerinden yazmak hatalıdır; boş kalan masa olduğundan 2 masanın tamamı, yani 2·7 = 14 kişilik yer eksilir.

Doğru cevap A.

1. Adım – Oranı içler-dışlar çarpımıyla açalım: 4(x+y) = x+6y → 4x+4y = x+6y → 3x = 2y.

2. Adım – Rakam koşulunu kullanalım: 3x = 2y olduğundan x çift, y ise 3'ün katı olmalıdır. xy iki basamaklı olduğu için x ≠ 0.

• x = 2 → y = 3 → sayı 23
• x = 4 → y = 6 → sayı 46
• x = 6 → y = 9 → sayı 69
• x = 8 → y = 12 (rakam değil, olmaz)

3. Adım – Toplam: 23 + 46 + 69 = 138.

Dikkat: x = 0, y = 0 de 3x = 2y'yi sağlar ama hem payda sıfır olur hem de "00" iki basamaklı sayı değildir; bu yüzden sayılmaz. Ayrıca xy burada çarpım değil, onlar basamağı x, birler basamağı y olan sayıdır.

Doğru cevap A.

Kitapçıkta z₁z₂ ifadesinin üzerinde çizgi vardır; yani istenen, çarpımın eşleniğinin sanal kısmıdır.

1. Adım – Çarpım: z₁·z₂ = (2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i² = 6 + 5i − 1 = 5 + 5i.

2. Adım – Eşlenik: Bir a+bi sayısının eşleniği a−bi'dir. Buna göre (z₁z₂)‾ = 5 − 5i.

3. Adım – Sanal kısım: 5 − 5i sayısının sanal kısmı i'nin katsayısı olan −5'tir.

Yaygın tuzak: Üst çizgiyi gözden kaçırıp çarpımın kendi sanal kısmı olan 5'i (E şıkkı) işaretlemek. Ayrıca sanal kısım "−5i" değil, yalnızca katsayı olan −5'tir; i² = −1 olduğunu unutmak da gerçel kısmı 7 bulmaya yol açar.

Doğru cevap E.

İki logaritmanın tabanı farklı olduğundan taban değiştirme yapılır. logₓ(1/4) = log₂(1/4) / log₂x = −2 / log₂x.

t = log₂x diyelim (x > 0, x ≠ 1 olduğundan t ≠ 0). Denklem: t − 2/t = 1 Her iki tarafı t ile çarpalım: t² − 2 = t → t² − t − 2 = 0 (t − 2)(t + 1) = 0 → t = 2 veya t = −1

Geri dönüşüm:

• log₂x = 2 → x = 4
• log₂x = −1 → x = 1/2

İki değer de x > 0 ve x ≠ 1 koşulunu sağlar. Kontrol: x = 4 için 2 + log₄(1/4) = 2 − 1 = 1 ✓; x = 1/2 için −1 + log_(1/2)(1/4) = −1 + 2 = 1 ✓.

Toplam: 4 + 1/2 = 9/2

Tuzak: t köklerinin toplamı olan 1'i veya x değerlerinden yalnızca 4'ü almak yanlış şıkka götürür; istenen, bulunan tüm x değerlerinin toplamıdır.

Doğru cevap E.

(g∘f)(π/6) = g(f(π/6)) olduğundan önce içteki fonksiyon hesaplanır.

1. Adım – f(π/6):

• sin(π/6) = 1/2
• cos(6·π/6) = cos π = −1
• f(π/6) = (1/2)·(−1) = −1/2

2. Adım – g(−1/2): g(x) = e^(1/x²) olduğundan x² = (−1/2)² = 1/4, dolayısıyla 1/x² = 4. g(−1/2) = e⁴.

Yaygın tuzaklar: cos 6x'i cos x gibi alıp cos(π/6) = √3/2 kullanmak; ya da kare alınırken negatif işareti korumak. (−1/2)² pozitif olduğu için üs +4 olur, e⁻⁴ (C şıkkı) değil. Bileşke sırası da önemlidir: g∘f'de önce f, sonra g uygulanır.