2021/2 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap C.

Öğrenci ve tam bilet sayıları eşit olduğundan ikisine de n, kafile bileti sayısına k diyelim.

Bilet sayısı denklemi: n + n + k = 16 → 2n + k = 16 → k = 16 − 2n

Gelir denklemi: 10n + 15n + 8k = 173 → 25n + 8k = 173

k'yı yerine yazalım: 25n + 8(16 − 2n) = 173 25n + 128 − 16n = 173 9n = 45 → n = 5

k = 16 − 2·5 = 6

Kontrol: 5 öğrenci × 10 = 50 TL, 5 tam × 15 = 75 TL, 6 kafile × 8 = 48 TL; toplam 50 + 75 + 48 = 173 TL ✓ ve bilet sayısı 5 + 5 + 6 = 16 ✓.

Tuzak: Bulunan n = 5 değerini cevap sanmak B şıkkına götürür; soru öğrenci ya da tam bilet sayısını değil, kafileye satılan bilet sayısını sormaktadır.

Doğru cevap A.

1) Kesişim noktaları: 1 − x² = 1 − x → x² − x = 0 → x(x − 1) = 0 → x = 0 ve x = 1.

2) Hangi grafik üstte? 0 < x < 1 aralığından örneğin x = 1/2 alalım: parabol 1 − 1/4 = 3/4, doğru 1 − 1/2 = 1/2. Demek ki aralıkta parabol üstte, doğru altta.

3) Alan: Alan = ∫ (0'dan 1'e) [(1 − x²) − (1 − x)] dx = ∫ (0'dan 1'e) (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3] (0'dan 1'e) = 1/2 − 1/3 = 1/6

Genel kalıp: Bir parabol ile doğru arasında kalan alan |a|·(x₂ − x₁)³/6 formülüyle de bulunur; burada a = −1 ve kökler arası uzaklık 1 olduğundan alan 1/6'dır.

Tuzak: Üst ve alt fonksiyonu ters alırsanız −1/6 bulunur; alan negatif olamayacağından mutlak değer alınmalıdır. Yalnızca parabolün altındaki alanı (2/3) hesaplamak da yanlış sonuç verir.

Doğru cevap E.

Karenin bir kenarına a diyelim (a > 0).

• Alan = a²
• Çevre = 4a

Koşul: Alan = Çevre a² = 4a → a² − 4a = 0 → a(a − 4) = 0 a = 0 bir kare belirtmediğinden a = 4 birim.

Köşegen: Karede köşegen, kenarları a olan ikizkenar dik üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor bağıntısıyla: d² = a² + a² = 2a² → d = a√2

d = 4√2 birim.

Kontrol: Kenarı 4 olan karenin alanı 16, çevresi 16 ✓.

Tuzak: Kenar uzunluğu 4'ü bulduktan sonra köşegeni hesaplamayı unutmak ya da köşegeni 2a gibi almak yanlış şıklara götürür; kare köşegeni her zaman kenarın √2 katıdır.

Doğru cevap A.

1. Adım – Birinci türev (zincir kuralı): y' = cos(cos x)·(−sin x) = −sin x · cos(cos x).

2. Adım – İkinci türev (çarpım kuralı): y'' = −cos x · cos(cos x) − sin x · [−sin(cos x)·(−sin x)] y'' = −cos x · cos(cos x) − sin²x · sin(cos x).

3. Adım – x = 0'da değer: cos 0 = 1, sin 0 = 0 olduğundan y''(0) = −1·cos(1) − 0 = −cos 1.

Yaygın tuzak: İkinci türevde çarpım kuralını unutup yalnızca −sin x'in türevini almak ya da iç fonksiyonun türevini (−sin x) atlamak. Ayrıca x = 0'da y'(0) = 0 çıkması, y''(0)'ın da 0 olduğu anlamına gelmez.

Doğru cevap C.

Bilim sınavı puanına b diyelim. Toplam puan ağırlıklı ortalamadır:

1. Adım – Bilinen katkılar:

• Not ortalaması katkısı: 90 × 0,30 = 27
• Yabancı dil katkısı: 80 × 0,20 = 16
• Toplam bilinen: 27 + 16 = 43

2. Adım – Eşitsizlik: 43 + 0,50·b ≥ 90 → 0,50·b ≥ 47 → b ≥ 94.

Dolayısıyla ödül için bilim sınavından en az 94 puan alınmalıdır.

Kontrol: b = 94 için 27 + 16 + 47 = 90 puan tam sınırdadır; b = 92 alınırsa 27 + 16 + 46 = 89 olur ve ödül kaçar.

Yaygın tuzak: Yüzdeleri toplam puana değil de ham notların basit ortalamasına uygulamak ya da "en az 90" koşulunu kesin eşitsizlik gibi yorumlayıp bir üst şıkkı seçmek.

Doğru cevap C.

Rakamlar: 1, 4, 3, 2, 0 (hepsi farklı). Sayının tek olması için birler basamağı tek rakam olmalı: 1 ya da 3.

1. Adım – Birler basamağı: 2 seçenek (1 veya 3).

2. Adım – Kalan dört basamak: Birler basamağına bir tek rakam yerleştirilince geriye 0'ı da içeren 4 rakam kalır.

• Onbinler basamağına 0 gelemez → 3 seçenek
• Kalan üç basamak → 3·2·1 = 6 seçenek
• Bir birler rakamı için: 3 × 6 = 18 sayı

3. Adım – Toplam: 2 × 18 = 36.

Yaygın tuzak: 0'ın başa gelemeyeceğini unutup 2 × 4! = 48 bulmak, ya da tüm dizilişleri (4·4! = 96) sayıp tek olma koşulunu ihmal etmek. Önce kısıtlı basamakları (birler ve ilk basamak) yerleştirmek hatayı önler.

Doğru cevap D.

Mutlak değerleri açmak için içlerinin işaretine bakılır. Verilen sıralama: x < y < 0 < z, yani x ve y negatif, z pozitif.

1) |y − z|: y < z olduğundan y − z < 0 → |y − z| = z − y

2) |z − 2x|: z > 0 ve x < 0 olduğundan −2x > 0; iki pozitifin toplamı z − 2x > 0 → |z − 2x| = z − 2x

3) |x|: x < 0 olduğundan |x| = −x

Pay: (z − y) − (z − 2x) + y = z − y − z + 2x + y = 2x

Sonuç: 2x / (−x) = −2

Örnek kontrol: x = −2, y = −1, z = 3 için |−4| − |7| + (−1) = 4 − 7 − 1 = −4; |x| = 2 → −4/2 = −2 ✓.

Tuzak: |x| = x yazmak sonucu 2 yapar ve C şıkkına götürür; x negatif olduğundan |x| = −x alınmalıdır.

Doğru cevap C.

x ≠ 0 olduğundan denklemin her iki tarafı x ile çarpılabilir: x·(1 + 1/x) = 2x·x → x + 1 = 2x²

Düzenleyelim: 2x² − x − 1 = 0

Çarpanlara ayıralım: (2x + 1)(x − 1) = 0 → x = 1 veya x = −1/2

İki kök de sıfırdan farklı olduğundan ikisi de geçerlidir. Kontrol: x = 1 için 1 + 1 = 2 = 2·1 ✓; x = −1/2 için 1 + (−2) = −1 = 2·(−1/2) ✓.

Kökler toplamı: 1 + (−1/2) = 1/2

Kısa yol: ax² + bx + c = 0 denkleminde kökler toplamı −b/a'dır; burada −(−1)/2 = 1/2. Diskriminant Δ = 1 + 8 = 9 > 0 olduğundan iki farklı reel kök vardır.

Tuzak: Denklemi 2x² − x − 1 yerine 2x² + x − 1 gibi işaret hatasıyla düzenlemek kökler toplamını −1/2 yapar ve B şıkkına götürür.