2021/3 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap C. Sözel ifadeleri denkleme çevirelim. "x'in yarısı y'nin 3 katına eşit" demek x/2 = 3y, yani x = 6y demektir. "y'nin 2 katı z'nin 3 katına eşit" demek 2y = 3z, yani z = 2y/3 demektir. Şimdi her şeyi y cinsinden yazalım. Pay: x − 2y − z = 6y − 2y − 2y/3 = 4y − 2y/3 = 12y/3 − 2y/3 = 10y/3. Payda: z = 2y/3. Oran: (10y/3) ÷ (2y/3) = 10y/3 · 3/(2y) = 5. y sıfırdan farklı olduğu sürece sonuç y'ye bağlı değildir; bu yüzden cevap sabit bir sayı çıkar. Kontrol için y = 3 alalım: x = 18, z = 2; (18 − 6 − 2)/2 = 10/2 = 5. Tuzak: "x'in yarısı" ifadesini x = 3y/2 biçiminde ters kurmak ya da payda z yerine x kullanmak yanlış sonuca götürür; D ve E şıkları sonucun değişkene bağlı olduğunu sanan adaylar için konmuştur.

Doğru cevap C. Planlanan hız v olsun; yol 5 saatte alınacağına göre toplam mesafe 5v olur. Yolun %60'ı = 0,6 · 5v = 3v'dir ve bu kısım planlanan hızla gidildiği için 3 saat sürer. Kalan yol %40, yani 2v'dir. Bu kısımda hız %20 azalır: yeni hız 0,8v olur. Kalan yolun süresi = 2v ÷ 0,8v = 2,5 saat. Toplam yolculuk süresi = 3 + 2,5 = 5,5 saat = 5 saat 30 dakika. Saat 09.00'da yola çıkan sürücü 09.00 + 5.30 = 14.30'da B şehrine varır. Alternatif bakış: yolun kalan kısmı planlanan hızla 2 saat sürecekti; hız 0,8 katına inince süre 1/0,8 = 1,25 katına çıkar: 2 · 1,25 = 2,5 saat. Tuzak: hız %20 azalınca sürenin de yalnızca %20 arttığını düşünmek (2 · 1,2 = 2,4 saat → 14.24) hatalıdır; süre, hızın tersine orantılı değişir ve %25 artar.

Doğru cevap D. Önce 252 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 252 = 2 · 126 = 2 · 2 · 63 = 2 · 2 · 3 · 21 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7. Yani 252 = 2² · 3² · 7. Buradan 252ⁿ = (2² · 3² · 7)ⁿ = 2²ⁿ · 3²ⁿ · 7ⁿ yazılır. Üslü sayılarda (xᵐ)ⁿ = (xⁿ)ᵐ olduğundan 2²ⁿ = (2ⁿ)² = a², 3²ⁿ = (3ⁿ)² = b² ve 7ⁿ = c olur. Sonuç: 252ⁿ = a² · b² · c. Kontrol için n = 1 alalım: a = 2, b = 3, c = 7 → a²b²c = 4 · 9 · 7 = 252 doğrulanır. Tuzak: 252'yi 4 · 63 diye yazıp 63'ü 3 · 21 olarak eksik ayırmak 3'ün kuvvetini 1 sanmaya ve a²bc şıkkına götürebilir; çarpanlara ayırmayı sonuna kadar sürdürmek gerekir.

Doğru cevap A. Çemberin merkezi (1, 1), yarıçapı 1'dir. Merkezin eksenlere uzaklığı 1 olduğundan çember hem x = 0 (y ekseni) doğrusuna (0, 1) noktasında, hem de y = 0 (x ekseni) doğrusuna (1, 0) noktasında teğettir. Bu durumda çember ile iki eksen arasında, orijin köşesinde kalan küçük bir bölge oluşur. Bu bölge, köşeleri (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) olan 1 × 1 karenin içinden, merkezi (1,1) olan çeyrek dairenin çıkarılmasıyla elde edilir. Karenin alanı = 1. Çeyrek dairenin alanı = π · 1² / 4 = π/4. İstenen alan = 1 − π/4 = (4 − π)/4 birimkaredir (yaklaşık 0,215). Tuzak: çemberin tüm alanını (π) ya da kareden yarım daireyi çıkarmayı düşünmek hatalıdır; eksenlerle sınırlanan kısım yalnızca merkezin karşısındaki köşedeki bölgedir ve karenin içinde kalan çember parçası tam bir çeyrek dairedir.

Doğru cevap E. arctan fonksiyonunun türev kuralı: y = arctan(u) ise dy/dx = u′ / (1 + u²) olur. Burada iç fonksiyon u = 1 + x², türevi u′ = 2x'tir. Buna göre dy/dx = 2x / (1 + (1 + x²)²) bulunur. Şimdi x = 1 değerini yerine koyalım: u = 1 + 1² = 2, u² = 4, u′ = 2 · 1 = 2. dy/dx (1) = 2 / (1 + 4) = 2/5. İfadedeki "dy/dx (1)" gösterimi, türevin x = 1 noktasındaki değeri anlamına gelir. Tuzak: zincir kuralını unutup yalnızca 1/(1 + u²) = 1/5 hesaplamak D şıkkına götürür; iç fonksiyonun türevi olan 2x çarpanını eklemeyi atlamamak gerekir. Ayrıca paydada (1 + x²)² yerine 1 + x² kullanmak da yanlış bir değere yol açar.

Doğru cevap D.

x → 0 iken sin 0 = 0 ve ln(1+0) = 0 olduğundan limit 0/0 belirsizliğidir; bu yüzden sonuç doğrudan 0 değildir.

Yol 1 – L'Hôpital kuralı: Pay türevi: (sin x)' = cos x Payda türevi: (ln(1+x))' = 1/(1+x) lim (x→0) cos x / [1/(1+x)] = lim (x→0) cos x·(1+x) = 1·1 = 1.

Yol 2 – Bilinen limitler: x → 0 iken sin x ≈ x ve ln(1+x) ≈ x olduğundan sin x / ln(1+x) = (sin x / x) · (x / ln(1+x)) → 1 · 1 = 1.

Yaygın tuzak: Payın 0'a gittiğini görüp sonucu 0 sanmak. Pay ve payda birlikte 0'a gittiğinde oran, iki fonksiyonun sıfıra yaklaşma hızlarının oranına eşittir; burada ikisi de x gibi davrandığından oran 1'dir.

Doğru cevap B.

Kesim noktalarında iki eğrinin y değerleri eşittir.

1. Adım – Denklemleri eşitleyelim: 4 − x² = 1 − 2x → 0 = x² − 2x − 3.

2. Adım – Kökler toplamı: x² − 2x − 3 = 0 denkleminde Vieta'ya göre kökler toplamı −b/a = −(−2)/1 = 2.

Kontrol – Kökleri açıkça bulalım: x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1) = 0 → x = 3 veya x = −1. Toplam: 3 + (−1) = 2. Noktalar: x = 3 için y = −5, x = −1 için y = 3; her ikisi de hem parabolü hem doğruyu sağlar.

Yaygın tuzak: Denklemi düzenlerken işaret hatası yapıp x² + 2x − 3 = 0 yazmak; bu durumda toplam −2 bulunur. Diskriminant (4 + 12 = 16 > 0) pozitif olduğu için iki farklı kesim noktası vardır.

Doğru cevap C. Mutlak değer eşitsizliği |A| ≤ 3, −3 ≤ A ≤ 3 demektir. Buna göre −3 ≤ x² − 12 ≤ 3; her tarafa 12 eklenirse 9 ≤ x² ≤ 15 bulunur. x² ≥ 9 koşulu x ≤ −3 veya x ≥ 3 verir; x² ≤ 15 koşulu −√15 ≤ x ≤ √15 verir. İkisinin kesişimi: x ∈ [−√15, −3] ∪ [3, √15]. Negatif aralık [−√15, −3] içinde en büyük sayı, sıfıra en yakın olan −3'tür (√15 ≈ 3,87 olduğundan −√15 daha küçüktür). Pozitif aralık [3, √15] içinde en büyük sayı √15'tir. Çarpım: (−3) · √15 = −3√15. Tuzak: "en büyük negatif" sayıyı mutlak değerce en büyük olan −√15 sanmak (−√15 · √15 = −15, şıklarda yok) ya da −3 · 3 = −9 hesaplamak D şıkkına götürür; negatif sayılarda büyüklük sıfıra yakınlıkla ölçülür.