2022/1 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap C. C noktası AB'yi dıştan böldüğü ve |AC| = 4|BC| olduğu için C, B'nin ötesinde, A–B–C sırasıyla doğru üzerindedir. |AC| = 4k, |BC| = k alınırsa |AB| = 3k olur; yani AC = (4/3)·AB vektörel olarak. AB vektörü = (9 − 3, −5 − 1) = (6, −6). AC = (4/3)(6, −6) = (8, −8), dolayısıyla C = (3 + 8, 1 − 8) = (11, −7). AB'nin orta noktası M = ((3 + 9)/2, (1 − 5)/2) = (6, −2). AC'nin orta noktası N = ((3 + 11)/2, (1 − 7)/2) = (7, −3). Uzaklık |MN| = √((7 − 6)² + (−3 + 2)²) = √(1 + 1) = √2. Kısa yol: iki orta nokta da A'dan başlayan vektörlerin yarısıdır; MN = (AC − AB)/2 = BC/2, |BC| = |AB|/3 = 6√2/3 = 2√2, yarısı √2. Tuzak: C'yi içten bölme gibi A ile B arasında almak farklı bir sonuç verir.

Doğru cevap A. Önce kesrin paydasını sadeleştirelim: 1/2 + 2/3 = 3/6 + 4/6 = 7/6. Eşitlik 1 + (1 − x/2) ÷ (7/6) = 5 biçimini alır. Her iki taraftan 1 çıkarılırsa (1 − x/2) ÷ (7/6) = 4 olur. Bir sayıyı 7/6'ya bölmek 6/7 ile çarpmak demektir; o halde 1 − x/2 = 4 · 7/6 = 28/6 = 14/3 bulunur. Buradan x/2 = 1 − 14/3 = 3/3 − 14/3 = −11/3, dolayısıyla x = −22/3 olur. Kontrol: x = −22/3 için 1 − x/2 = 1 + 11/3 = 14/3; 14/3 ÷ 7/6 = 14/3 · 6/7 = 4; 1 + 4 = 5 doğrulanır. Tuzak: x/2 = −11/3 bulunduğunda 2 ile çarpmayı unutmak D şıkkına (−11/3), işaret hatası yapmak ise B şıkkına (22/3) götürür.

Doğru cevap D. Eşitlik zincirini tek bir değişkene bağlayalım: s(A ∩ B) = k diyelim. O halde s(A) = 2k, s(B)/3 = 2k olduğundan s(B) = 6k olur. Birleşim formülü: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B) = 2k + 6k − k = 7k. 7k = 91 verildiğinden k = 13 bulunur. Buna göre s(A) = 26, s(B) = 78, s(A ∩ B) = 13 olur. İstenen s(B − A), B'de olup A'da olmayan elemanların sayısıdır: s(B − A) = s(B) − s(A ∩ B) = 78 − 13 = 65. Kontrol: s(A − B) = 26 − 13 = 13; 13 + 13 + 65 = 91 = s(A ∪ B) doğrulanır. Tuzak: s(B − A) yerine doğrudan s(B) = 78 (E şıkkı) ya da k = 13 (B şıkkı) değerini işaretlemek sık yapılan hatadır; fark kümesinde kesişim çıkarılmalıdır.

Doğru cevap C. Alanlar oranı: πr₁² / πr₂² = 2/3, yani r₁²/r₂² = 2/3 ve r₂² = (3/2)r₁² olur. Karekök alınırsa r₂ = r₁·√(3/2) = r₁·√3/√2 = r₁·√6/2 bulunur (paydayı rasyonel yapmak için √2 ile genişlettik). Çevreler: D₁ için Ç₁ = 2πr₁, D₂ için Ç₂ = 2πr₂ = 2π · (√6/2) r₁ = √6 πr₁. Toplam: Ç₁ + Ç₂ = 2πr₁ + √6πr₁ = (2 + √6)πr₁. Kontrol: r₁ = 2 alınırsa r₂ = √6 olur; alanlar 4π ve 6π, oran 4/6 = 2/3 doğrulanır; çevreler toplamı 4π + 2√6π = (2 + √6)·2π. Tuzak: alanlar oranını doğrudan yarıçaplar oranı sanmak ya da yalnızca D₂'nin çevresini (√6πr₁, D şıkkı) işaretlemek hatadır; alan oranı yarıçap oranının karesidir.

Doğru cevap B. Bir üslü ifade aᵇ = 1 olabilmesi için üç durum incelenir: (1) taban 1 ise, (2) taban −1 ve üs çift ise, (3) üs 0 ve taban sıfırdan farklı ise. Durum 1: |x − 7| = 1 ⇒ x − 7 = 1 veya x − 7 = −1 ⇒ x = 8 veya x = 6. Her iki durumda 1'in her kuvveti 1'dir. Durum 2: taban mutlak değer olduğundan hiçbir zaman −1 olamaz, bu durum çözüm vermez. Durum 3: x − 4 = 0 ⇒ x = 4; bu değerde taban |4 − 7| = 3 ≠ 0 olduğundan 3⁰ = 1 sağlanır. Çözüm kümesi {4, 6, 8}'dir. Çarpım: 4 · 6 · 8 = 192. Tuzak: üssün sıfır olduğu durumu gözden kaçırıp yalnızca 6 · 8 = 48 bulmak ya da taban için sadece x − 7 = 1 yazıp x = 6'yı atlamak yaygın hatalardır; ayrıca üs sıfırken tabanın sıfır olmadığı kontrol edilmelidir.

Doğru cevap D.

Gül = G, papatya = P, nergis = N, lale = L diyelim.

1. Adım – Denklemler:

• G + P = 50
• N + P = 75
• G + N = 85
• N + L = 90

2. Adım – İlk üç denklemi toplayalım: 2G + 2P + 2N = 210 → G + P + N = 105.

3. Adım – Nergisi bulalım: N = (G + P + N) − (G + P) = 105 − 50 = 55. (Kontrol: P = 75 − 55 = 20, G = 85 − 55 = 30; G + P = 50 ✓)

4. Adım – Lale: N + L = 90 → L = 90 − 55 = 35 lira.

Yaygın tuzak: Son denklemi doğrudan kullanmaya çalışıp lale ile nergisi ayıramamak; önce üç çiçekten oluşan kapalı sistemi çözüp nergisi bulmak gerekir. Papatyanın 20 liralık fiyatını lale sanıp A şıkkını seçmek de sık görülen bir karışıklıktır.

Doğru cevap B. x = 0 yazıldığında pay e⁰ − 0 − 1 = 0, payda e⁰ − 0 − 1 = 0 olur; 0/0 belirsizliği vardır. L'Hôpital kuralı uygulanır: payın türevi 2e²ˣ − 1, paydanın türevi 3e³ˣ − 1'dir. x → 0 için (2 · 1 − 1)/(3 · 1 − 1) = 1/2 bulunur. Aynı sonuca seri açılımıyla da ulaşılır: eᵘ ≈ 1 + u olduğundan e²ˣ − x − 1 ≈ 1 + 2x − x − 1 = x ve e³ˣ − x − 1 ≈ 1 + 3x − x − 1 = 2x; oran x/(2x) = 1/2. Tuzak: payda ve paydadaki −x terimlerini unutup yalnızca üsteki katsayıları oranlamak 2/3 gibi bir sonuç verir (şıklarda yoktur); −x − 1 kısmı türevde −1 olarak mutlaka hesaba katılmalıdır.

Doğru cevap C.

Taban değiştirme kuralıyla her iki logaritmayı 3 tabanına çevirelim: log₄₅ 75 = log₃ 75 / log₃ 45.

1. Adım – Pay: 75 = 3 · 5² → log₃ 75 = log₃ 3 + 2·log₃ 5 = 1 + 2x.

2. Adım – Payda: 45 = 3² · 5 → log₃ 45 = 2·log₃ 3 + log₃ 5 = 2 + x.

3. Adım – Oran: log₄₅ 75 = (2x + 1)/(x + 2).

Kontrol: log₃ 5 ≈ 1,465 alınırsa (2·1,465 + 1)/(1,465 + 2) ≈ 3,93/3,465 ≈ 1,134; doğrudan hesap ln 75/ln 45 ≈ 4,317/3,807 ≈ 1,134 çıkar ✓.

Yaygın tuzak: 75 ve 45'i asal çarpanlarına ayırırken üsleri karıştırmak (örneğin 75 = 3²·5 almak) ya da log₃ 3 = 1 terimini eklemeyi unutmak.