2022/2 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap D. Bileşke fonksiyonda içten dışa doğru hesap yapılır. Önce iç fonksiyonun değeri bulunur: g(3) = 3 · 3 + 7 = 9 + 7 = 16. Sonra bu değer dış fonksiyona yazılır: f(g(3)) = f(16) = 2√16 + 1 = 2 · 4 + 1 = 9. f fonksiyonu pozitif gerçel sayılarda tanımlıdır ve 16 bu kümede olduğundan hesap geçerlidir. Tuzak: işlem sırasını ters çevirip önce f(3) = 2√3 + 1 hesaplamak, ardından g'ye yerleştirmek g(f(3)) değerini verir ki bu istenen ifade değildir. Ayrıca f(x) = 2√x + 1 ifadesini 2√(x + 1) gibi okumak da f(16) = 2√17 gibi şıklarda olmayan bir sonuca götürür; kökün yalnızca x'i kapsadığına dikkat edilmelidir.

Doğru cevap C. Oranlardan değişkenleri x cinsinden yazalım. x/(y + 1) = 1/3 ⇒ y + 1 = 3x ⇒ y = 3x − 1. y/z = 1/3 ⇒ z = 3y = 9x − 3. Bunları 6x − y + 2z = 86 denkleminde yerine koyalım: 6x − (3x − 1) + 2(9x − 3) = 86 ⇒ 6x − 3x + 1 + 18x − 6 = 86 ⇒ 21x − 5 = 86 ⇒ 21x = 91 ⇒ x = 13/3. Buradan y = 13 − 1 = 12, z = 36 bulunur. Kontrol: x/(y + 1) = (13/3)/13 = 1/3 ✓, y/z = 12/36 = 1/3 ✓, 6x − y + 2z = 26 − 12 + 72 = 86 ✓. İstenen: x/(z − 10) = (13/3)/26 = 13/78 = 1/6. Tuzak: −(3x − 1) açılırken işareti +1 yerine −1 almak denklemi bozar ve farklı bir x verir; parantez önündeki eksiyi her terime dağıtmak gerekir.

Doğru cevap C. Nota göre eklenecek top sayıları sepetin ilk durumuna (2 sarı, 3 mavi, 5 kırmızı) göre hesaplanır. Eklenen sarı: mavi sayısının 2 katı = 2 · 3 = 6. Eklenen kırmızı: sarı sayısının yarısı = 2/2 = 1. Eklenen mavi: kırmızı sayısının 3 katı = 3 · 5 = 15. Son durum: sarı 2 + 6 = 8, kırmızı 5 + 1 = 6, mavi 3 + 15 = 18. Toplam top = 8 + 6 + 18 = 32. Sarı topların oranı = 8/32 = 1/4 = %25. Tuzak: eklemeleri sırayla güncellenmiş sayılar üzerinden yapmak (ör. kırmızı eklerken yeni sarı sayısı 8'i kullanıp 4 kırmızı eklemek) farklı bir toplam verir; soru notu bunu açıkça engellemektedir. Ayrıca yalnızca eklenen toplar içindeki sarı oranını (6/22) hesaplamak da hatalıdır.

Doğru cevap C. Toplam maliyet = 10 · 100 = 1.000 ₺. İlk satış fiyatı: 100 · 1,5 = 150 ₺; 10 kazağın yarısı olan 5 adet satılır: 5 · 150 = 750 ₺. Kalan 5 kazak. %20 indirimli fiyat: 150 · 0,8 = 120 ₺; kalanların 1/5'i yani 1 kazak satılır: 120 ₺. Kalan 4 kazak. İndirimli fiyat üzerinden %10 daha indirim: 120 · 0,9 = 108 ₺; 4 kazak satılır: 4 · 108 = 432 ₺. Toplam hasılat = 750 + 120 + 432 = 1.302 ₺. Kâr = 1.302 − 1.000 = 302 ₺. Tuzak: ikinci indirimi ilk satış fiyatı olan 150 ₺ üzerinden %30 toplam indirim gibi hesaplamak (105 ₺) ya da "kalanların 1/5'i" ifadesini toplamın 1/5'i (2 kazak) sanmak farklı sonuçlar verir; ardışık indirimler bir önceki fiyat üzerinden uygulanır.

Doğru cevap D. x → ∞ iken e⁻ˣ → 0, eˣ → ∞ olur. Paydaki e¹⁻ˣ = e · e⁻ˣ ve paydadaki e²⁻ˣ = e² · e⁻ˣ terimleri sıfıra gider; baskın terim her iki tarafta da eˣ'tir. Kesri eˣ'e bölelim: (e¹⁻ˣ + eˣ)/(e²⁻ˣ + eˣ) = (e · e⁻²ˣ + 1)/(e² · e⁻²ˣ + 1). x → ∞ iken e⁻²ˣ → 0 olduğundan limit (0 + 1)/(0 + 1) = 1 bulunur. Tuzak: eˣ terimlerini baskın görmeyip e¹⁻ˣ ve e²⁻ˣ terimlerini oranlamak e¹⁻ˣ/e²⁻ˣ = 1/e sonucunu (B şıkkı) verir; ancak bu terimler sonsuzda sıfıra giderken eˣ sınırsız büyür. Limit x → −∞ olsaydı baskın terimler e⁻ˣ'li olanlar olur ve sonuç 1/e çıkardı; yön dikkatle okunmalıdır.

Doğru cevap C. Logaritma türevi: y = ln(u) ise y′ = u′/u. Burada u = sin(2x), zincir kuralıyla u′ = 2cos(2x) olur. Dolayısıyla y′ = 2cos(2x)/sin(2x) = 2cot(2x). x = π/6 için 2x = π/3 olur. cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = √3/2, dolayısıyla cot(π/3) = (1/2)/(√3/2) = 1/√3. y′(π/6) = 2 · 1/√3 = 2/√3; paydayı rasyonel yaparsak 2√3/3 bulunur (≈ 1,155). Tuzak: sin(2x)'in türevinde iç türev olan 2'yi unutmak cot(π/3) = √3/3 sonucunu verir (şıklarda yok); cot yerine tan almak ise 2·tan(π/3) = 2√3 gibi yanlış bir değere götürür. 2√3/3 ile 2/√3 aynı sayının farklı yazılışıdır.

Doğru cevap A. Önce kesişim noktalarını bulalım: 2x − x² = x ⇒ x − x² = 0 ⇒ x(1 − x) = 0 ⇒ x = 0 ve x = 1. Bu aralıkta hangi eğrinin üstte olduğunu anlamak için x = 1/2 deneriz: parabol 2 · 1/2 − 1/4 = 3/4, doğru 1/2; parabol üsttedir. Alan = ∫ (0'dan 1'e) [(2x − x²) − x] dx = ∫ (0'dan 1'e) (x − x²) dx. İntegral: [x²/2 − x³/3] (0'dan 1'e) = 1/2 − 1/3 = 1/6 birimkare. Pratik kural: bir parabol ile bir doğru arasındaki alan |a|·(x₂ − x₁)³/6 formülüyle de bulunur; burada farkın baş katsayısı a = −1, kökler 0 ve 1 olduğundan 1 · 1³/6 = 1/6. Tuzak: yalnızca parabolün altındaki alanı (∫ (2x − x²) dx = 2/3) ya da farkı ters alarak negatif sonuç bulmak hatadır; alan her zaman üstteki eksi alttaki eğrinin integralidir.

Doğru cevap B.

Buradaki log, 10 tabanlı logaritmadır; 2,25 ondalık sayıdır (2.25).

1. Adım – Sayıyı kesre çevirelim: 2,25 = 9/4 = 3²/2².

2. Adım – Logaritma kuralları: log(2,25) = log 3² − log 2² = 2·log 3 − 2·log 2 = 2x − 2·log 2.

3. Adım – log 2'yi y ile yazalım: 2 = 10/5 → log 2 = log 10 − log 5 = 1 − y.

4. Adım – Yerine koyalım: log(2,25) = 2x − 2(1 − y) = 2x + 2y − 2.

Kontrol: x ≈ 0,4771, y ≈ 0,6990 → 2x + 2y − 2 ≈ 0,3522; log 2,25 ≈ 0,3522 ✓.

Yaygın tuzak: log 2'yi bilinmeyen gibi bırakmak ya da 2,25 = 9/4 yerine 225/100 yazıp 100'ün logaritmasını (2) unutmak.