2022/3 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap A. İkizkenar dik üçgende dik kenarlar eşittir; uzunluklarına a diyelim. Alan = (a · a)/2 = a²/2 = 16 ⇒ a² = 32 ⇒ a = 4√2 cm. Hipotenüs, Pisagor teoremiyle c = √(a² + a²) = a√2 = 4√2 · √2 = 8 cm bulunur (45°–45°–90° üçgeninde hipotenüs dik kenarın √2 katıdır). Çevre = a + a + c = 4√2 + 4√2 + 8 = 8√2 + 8 cm. Kontrol: (4√2)² = 32, 32 + 32 = 64 = 8² ✓; alan 32/2 = 16 ✓. Tuzak: alanı a²/2 yerine a² = 16 alıp a = 4 bulmak çevreyi 8 + 4√2 yapar (şıklarda 4√2 + 4 ve 8√2 + 4 benzeri seçenekler bu hataya göre konmuştur). Ayrıca hipotenüsü çevreye eklemeyi unutmak C şıkkına (8√2) götürür.

Doğru cevap D. Türk vatandaşı ziyaretçi sayısı T, turist sayısı U olsun. Müzekart kullananlar: T/2 + U/3 = 10 (1). Bilet alanlar: Türklerin yarısı (T/2) ve turistlerin 2/3'ü (2U/3). Gelir: 20 · T/2 + 30 · 2U/3 = 10T + 20U = 400 ⇒ T + 2U = 40 (2). (1) denklemini 6 ile çarpalım: 3T + 2U = 60. Bundan (2)'yi çıkarırsak 2T = 20 ⇒ T = 10; (2)'den 2U = 30 ⇒ U = 15. Bilet satın alan turist sayısı = 2U/3 = 2 · 15/3 = 10. Kontrol: ücretsiz giren 5 Türk + 5 turist = 10 ✓; gelir 5 · 20 + 10 · 30 = 100 + 300 = 400 ✓. Tuzak: toplam turist sayısını (15) ya da müzekart kullanan turist sayısını (5) cevap sanmak yaygındır; soru yalnızca bilet satın alan turistleri sormaktadır.

Doğru cevap B. x² + y² ≤ 1, merkezi orijin ve yarıçapı 1 olan dairenin içidir. x + y = 1 doğrusu bu çemberi (1, 0) ve (0, 1) noktalarında keser. x + y ≥ 1 koşulu, doğrunun orijinin karşı tarafındaki bölgeyi seçer (orijin 0 + 0 ≥ 1 sağlamaz). Böylece çözüm kümesi, birinci bölgede çember yayı ile bu kiriş arasında kalan daire parçasıdır. Alanı: çeyrek daire alanından, köşeleri (0,0), (1,0), (0,1) olan dik üçgenin alanı çıkarılarak bulunur. Çeyrek daire = π · 1²/4 = π/4; üçgen = 1 · 1/2 = 1/2. İstenen alan = π/4 − 1/2 birim kare (≈ 0,285). Tuzak: eşitsizliğin yönünü ters okuyup dairenin kiriş altında kalan büyük kısmını almak π − (π/4 − 1/2) = 3π/4 + 1/2 gibi bir değer verir; yalnızca çeyrek daireyi (π/4) işaretlemek de üçgeni çıkarmayı unutmaktır.

Doğru cevap B. Kesirlerle çalışmayı kolaylaştırmak için leblebi miktarını paydaların ortak katı olan 10 birim alalım. Fındık = leblebinin yarısı = 5 birim. Badem = fındığın 2/5'i = 5 · 2/5 = 2 birim. Fıstık = bademin 3/2'si = 2 · 3/2 = 3 birim. Toplam karışım = 10 + 5 + 2 + 3 = 20 birim. Badem oranı = 2/20 = 1/10 = %10. Genel çözüm: leblebi L ise fındık L/2, badem L/5, fıstık 3L/10; toplam 2L olur ve badem oranı (L/5)/(2L) = 1/10. Tuzak: badem miktarını karışımın tamamı yerine yalnızca leblebiye oranlamak (2/10 = %20, E şıkkı) ya da fıstığı toplama katmayı unutmak (2/17) hatalı sonuç verir; yüzde, tüm karışımın toplamına göre hesaplanmalıdır.

Doğru cevap E. x → −2 iken payda x + 2 → 0 olur. Limitin sonlu bir b değerine eşit olabilmesi için payın da sıfıra gitmesi gerekir; aksi halde ifade sonsuza ıraksar. Buna göre a · (−2) + 4 = 0 ⇒ a = 2. Bu durumda pay 2x + 4 = 2(x + 2) olur ve ifade (2(x + 2))/(x + 2) = 2 biçiminde sadeleşir (x ≠ −2 için). Dolayısıyla limit b = 2 bulunur. Aynı sonuca L'Hôpital kuralıyla da varılır: 0/0 belirsizliğinde pay ve paydanın türevleri oranı a/1 = 2. İstenen çarpım: a · b = 2 · 2 = 4. Tuzak: payın sıfır olma koşulunu kurmadan doğrudan x = −2 yazıp (−2a + 4)/0 ifadesinden sonuç aramak ya da a'yı bulduktan sonra b'yi 0 sanmak (A şıkkı) hatalıdır; sadeleşme sonrası kalan sabit limitin değeridir.

Doğru cevap D. y = 10 − x yazılırsa ifade tek değişkenli olur: f(x) = x²(10 − x) = 10x² − x³, 0 < x < 10. Türev: f′(x) = 20x − 3x² = x(20 − 3x). f′(x) = 0 ⇒ x = 0 (aralık dışı) veya x = 20/3. f″(x) = 20 − 6x; x = 20/3'te f″ = −20 < 0 olduğundan burada maksimum vardır. Bu durumda y = 10 − 20/3 = 10/3 olur. En büyük değer: (20/3)² · (10/3) = (400/9) · (10/3) = 4000/27 (≈ 148,1). Alternatif (AGO eşitsizliği): x/2 + x/2 + y = 10 olduğundan (x/2)·(x/2)·y ≤ (10/3)³, yani x²y ≤ 4 · 1000/27 = 4000/27; eşitlik x/2 = y = 10/3 iken sağlanır. Tuzak: tam sayılarla deneme yapıp x = 7, y = 3 için 147 (C şıkkı) bulmak en büyük değer değildir; x ve y reel sayı olduğundan kesirli değerler de dikkate alınmalıdır.

Doğru cevap B. Genel terimi basit kesirlere ayıralım: 1/(k(k + 2)) = A/k + B/(k + 2). 1 = A(k + 2) + Bk; k = 0 için A = 1/2, k = −2 için B = −1/2. Yani 1/(k(k + 2)) = (1/2)·(1/k − 1/(k + 2)). Bu bir teleskopik seridir. Kısmi toplamı yazalım: (1/2)[(1 − 1/3) + (1/2 − 1/4) + (1/3 − 1/5) + (1/4 − 1/6) + … + (1/n − 1/(n + 2))]. Terimler ikişer adım arayla birbirini götürür; geriye yalnızca ilk iki pozitif terim (1 ve 1/2) ile son iki negatif terim (−1/(n + 1) ve −1/(n + 2)) kalır. Sₙ = (1/2)(1 + 1/2 − 1/(n + 1) − 1/(n + 2)). n → ∞ iken son iki terim sıfıra gider: S = (1/2)(3/2) = 3/4. Tuzak: 1/(k(k + 1)) serisindeki gibi yalnızca ilk terimin kaldığını sanıp toplamı 1/2 (A şıkkı) ya da 1/2 çarpanını unutup 3/2 (D şıkkı) bulmak sık görülen hatalardır.

Doğru cevap C.

Değişken değiştirme yöntemi kullanılır.

1. Adım – Dönüşüm: u = 4x − 2 dersek du = 4 dx, yani dx = du/4.

2. Adım – Sınırlar:

• x = 0 → u = −2
• x = 1 → u = 2

3. Adım – İntegrali yeniden yazalım: ∫₀¹ f(4x − 2) dx = ∫₋₂² f(u) · (du/4) = (1/4)·∫₋₂² f(u) du.

4. Adım – Sonuç: (1/4)·∫₋₂² f(u) du = 3 → ∫₋₂² f(u) du = 12.

İntegralde değişkenin adı sonucu etkilemez; ∫₋₂² f(x) dx = ∫₋₂² f(u) du = 12.

Yaygın tuzak: dx = du/4 dönüşümünü ters yapıp 3/4 bulmak ya da sınırları değiştirmeyi unutmak. Sınırlar [0,1]'den [−2,2]'ye geçer; bu da tam olarak f'nin tanımlı olduğu aralıktır.