2023/1 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap A. Önce paydayı logaritma özellikleriyle sadeleştirelim: ln[(1 − x)e] = ln(1 − x) + ln e = ln(1 − x) + 1. Buna göre payda 1 − ln(1 − x) − 1 = −ln(1 − x) olur. x → 0 iken pay sin(sin 0) = 0, payda −ln 1 = 0; 0/0 belirsizliği vardır. Küçük x için sin u ≈ u ve ln(1 − x) ≈ −x olduğundan pay ≈ sin x ≈ x, payda ≈ −(−x) = x olur; oran 1'e gider. L'Hôpital ile kontrol: payın türevi cos(sin x) · cos x → 1 · 1 = 1; paydanın türevi −(−1/(1 − x)) = 1/(1 − x) → 1. Limit = 1/1 = 1. Tuzak: ln[(1 − x)e] ifadesini ln(1 − x) · ln e ya da (1 − x) · e gibi yanlış açmak paydada sabit bir değer bırakır; logaritmada çarpım toplama dönüşür ve ln e = 1'dir.

Doğru cevap B. İlk kesrin payını ortak çarpan parantezine alalım: a³ − a²b = a²(a − b). Paydası iki kare farkıdır: a² − b² = (a − b)(a + b). (a − b) çarpanı sadeleşir ve ilk kesir a²/(a + b) olur (a ≠ b koşuluyla). İfade artık a²/(a + b) − b²/(a + b) biçimindedir; paydalar eşit olduğundan paylar çıkarılır: (a² − b²)/(a + b). Pay yine iki kare farkıdır: a² − b² = (a − b)(a + b). (a + b) sadeleşince sonuç a − b bulunur. Kontrol: a = 3, b = 1 için (27 − 9)/(9 − 1) − 1/4 = 18/8 − 1/4 = 9/4 − 1/4 = 2 = 3 − 1 ✓. Tuzak: iki kare farkını yalnızca bir kez kullanıp (a² − b²)/(a + b) aşamasında durmak ya da bu ifadeyi a² − b² (E şıkkı) sanmak hatadır; sadeleştirme sonuna kadar sürdürülmelidir.

Doğru cevap D. Önce parantez içlerini hesaplayalım: 1 − 4/5 = 1/5, 1 + 3/2 = 5/2. Negatif üs, tabanın tersinin pozitif kuvveti demektir: (1/5)⁻² = 5² = 25. Paydadaki küp: (5/2)³ = 125/8. İşlem: 25 ÷ (125/8) = 25 · 8/125 = 200/125 = 8/5. Üslü ifade olarak da görülebilir: (1/5)⁻² = 5², (5/2)³ = 5³/2³; oran 5² · 2³ / 5³ = 2³/5 = 8/5. Tuzak: negatif üssü sonucu negatif yapan bir işaret sanmak (−1/25 gibi) ya da (1/5)⁻² yerine 1/25 almak çok küçük bir sonuç verir; negatif üs yalnızca tabanı ters çevirir. Ayrıca paydadaki kesre bölerken ters çevirip çarpmayı unutmak 25 · 125/8 gibi yanlış bir değere götürür.

Doğru cevap E. Verilen eşitlikte içler dışlar çarpımı yapalım: 2(3x − 2y) = 2x + y ⇒ 6x − 4y = 2x + y ⇒ 4x = 5y. Buradan x ile y arasındaki oran x/y = 5/4 bulunur. Hesabı kolaylaştırmak için x = 5k, y = 4k (k ≠ 0) alalım. İstenen oran: pay y + 4x = 4k + 20k = 24k; payda 8x − 2y = 40k − 8k = 32k. (y + 4x)/(8x − 2y) = 24k/32k = 3/4. Kontrol: x = 5, y = 4 için verilen oran (15 − 8)/(10 + 4) = 7/14 = 1/2 ✓. Tuzak: 4x = 5y eşitliğinden x/y = 4/5 diye ters oran çıkarmak çok yaygındır; bu durumda pay 5 + 16 = 21, payda 32 − 10 = 22 olur ve şıklarda olmayan 21/22 bulunur. Oranı kurarken hangi değişkenin hangi katsayıyla çarpıldığına dikkat edilmelidir.

Doğru cevap B. Başlangıçtaki çalışan sayısı N olsun. İlk durumda mühendis sayısı 0,10N'dir. Yeni alınan 20 kişinin %25'i mühendistir: 20 · 0,25 = 5 mühendis. Son durumda çalışan sayısı N + 20, mühendis sayısı 0,10N + 5 olur ve bu, tüm çalışanların %15'idir: 0,10N + 5 = 0,15(N + 20) ⇒ 0,10N + 5 = 0,15N + 3 ⇒ 2 = 0,05N ⇒ N = 40. Son durumda toplam çalışan = 40 + 20 = 60 kişidir. Kontrol: başta 4 mühendis (40'ın %10'u), sonra 4 + 5 = 9 mühendis; 9/60 = 0,15 = %15 ✓. Tuzak: soru son durumdaki çalışan sayısını sormaktadır; ilk durumdaki 40 kişiyi hesaplayıp orada durmak ya da %15 oranını yalnızca yeni çalışanlara uygulamak hatalıdır. Şıklarda 40 yer almasa da denklem kurulurken N + 20 yerine N kullanmak farklı bir sonuca götürür.

Doğru cevap D.

1. Adım – Birinci türev ve kritik noktalar: f'(x) = 6x² − 30x + 36 = 6(x² − 5x + 6) = 6(x − 2)(x − 3). f'(x) = 0 → x = 2 veya x = 3.

2. Adım – İkinci türev testi: f''(x) = 12x − 30.

• x = 2 → f''(2) = −6 < 0 → yerel maksimum
• x = 3 → f''(3) = 6 > 0 → yerel minimum

İşaret tablosuyla kontrol: x < 2'de f' > 0 (artan), 2 < x < 3'te f' < 0 (azalan), x > 3'te f' > 0 (artan). Azalandan artana geçiş x = 3'te olduğu için yerel minimum orada oluşur.

Sabit terim 2023 türevde kaybolur, sonucu etkilemez.

Yaygın tuzak: İki kritik noktadan küçük olanı (x = 2) minimum sanmak. Baş katsayısı pozitif kübik fonksiyonda önce yerel maksimum, sonra yerel minimum gelir.

Doğru cevap C.

Bugün küçük çocuğun yaşı c olsun. Büyük çocuk c + 2, anne ise küçük çocuk doğduğunda 24 yaşında olduğu için c + 24 yaşındadır.

1. Adım – Bugünkü toplam: 2 yıl sonra üç kişinin her biri 2 yaş büyür; toplam 3 × 2 = 6 artar. Bugünkü toplam = 68 − 6 = 62.

2. Adım – Denklem: c + (c + 2) + (c + 24) = 62 → 3c + 26 = 62 → 3c = 36 → c = 12.

3. Adım – Annenin yaşı: Anne = 12 + 24 = 36.

Kontrol: Bugün 36, 14 ve 12 → 2 yıl sonra 38 + 16 + 14 = 68 ✓.

Yaygın tuzak: 2 yıllık artışı toplamın tamamına bir kez (yalnızca 2) eklemek; oysa üç kişinin her biri 2 yaş büyür.

Doğru cevap C.

3 ≤ |x + 2| ≤ 6 ifadesi, x + 2'nin sıfıra uzaklığının 3 ile 6 arasında olması demektir. İki durum vardır:

1. Durum – x + 2 pozitif taraf: 3 ≤ x + 2 ≤ 6 → 1 ≤ x ≤ 4 → x ∈ {1, 2, 3, 4}, toplam 10.

2. Durum – x + 2 negatif taraf: −6 ≤ x + 2 ≤ −3 → −8 ≤ x ≤ −5 → x ∈ {−8, −7, −6, −5}, toplam −26.

3. Adım – Genel toplam: 10 + (−26) = −16.

Kısa yol: Çözümler −2 noktasına göre simetriktir; 8 tamsayının ortalaması −2 olduğundan toplam 8 × (−2) = −16.

Yaygın tuzak: Yalnızca −6 ≤ x + 2 ≤ 6 aralığını alıp içteki (−3, 3) açık bölgesini çıkarmayı unutmak ya da uç noktaları (x = 1, 4, −5, −8) dahil etmemek; eşitsizlikler "≤" olduğu için uçlar çözüme dahildir.