2023/2 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap B.

İki oranda da ortak olan değişken b olduğu için a ve c'yi b cinsinden yazalım.

• a/b = 2/3 ⇒ a = 2b/3
• b/c = 4/7 ⇒ 4c = 7b ⇒ c = 7b/4

Bunları a + c = 29 eşitliğinde yerine koyalım:

2b/3 + 7b/4 = 29

Paydaları 12'de eşitleyelim: 8b/12 + 21b/12 = 29b/12 = 29

Buradan b = 12 bulunur.

Kontrol: a = 2·12/3 = 8, c = 7·12/4 = 21; a + c = 8 + 21 = 29 ✓. Ayrıca a/b = 8/12 = 2/3 ve b/c = 12/21 = 4/7 olup her iki oran da sağlanır.

Tuzak: b/c = 4/7 oranını ters çevirip c = 4b/7 yazmak sık yapılan bir hatadır; bu durumda denklem tutarlı bir tam sayı vermez.

Doğru cevap A.

Önce kesirdeki pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım:

• x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2)
• x² − 4 = (x − 2)(x + 2)

Böylece (x² + x − 6)/(x² − 4) = (x + 3)/(x + 2) olur.

Parantez içini tek kesir yapalım: 1 + 2/x = (x + 2)/x.

Çarpım: (x + 3)/(x + 2) · (x + 2)/x = (x + 3)/x (x + 2 sadeleşir).

Son olarak 3/x çıkarılır:

(x + 3)/x − 3/x = x/x = 1

İfade, tanımlı olduğu her x için sabit 1 değerini alır.

Tuzak: çarpma işlemini yapmadan önce 3/x'i çıkarmaya çalışmak işlem önceliğini bozar; önce çarpma, sonra çıkarma yapılmalıdır.

Doğru cevap E.

Torba sayısının en az olması için her torbanın alabildiği kadar ağır olması gerekir. Tüm torbalar eşit ağırlıkta olacağı ve meyveler karışmayacağı için torba ağırlığı 64, 48 ve 24'ün ortak böleni olmalıdır; en büyük değer ise EBOB'dur.

• 64 = 2⁶
• 48 = 2⁴ · 3
• 24 = 2³ · 3

EBOB(64, 48, 24) = 2³ = 8 kg.

Torba sayıları:

• Elma: 64 / 8 = 8
• Armut: 48 / 8 = 6
• Portakal: 24 / 8 = 3

Toplam: 8 + 6 + 3 = 17 torba.

Tuzak: 24 kg'lık torba seçmek cazip görünür ama 64, 24'e tam bölünmez. EKOK kullanmak da yanlıştır; "en az torba" en büyük ortak bölene karşılık gelir.

Doğru cevap A.

Paydaki çarpanları tek tek hesaplayalım:

• 1 − 1/2 = 1/2
• 1 + 1/2 = 3/2
• 1 + 1/4 = 5/4

Pay: (1/2) · (3/2) · (5/4) = 15/16

Payda: 3 + 3/4 = 12/4 + 3/4 = 15/4

Bölme işlemi, ikinci kesri ters çevirip çarpmaktır:

(15/16) ÷ (15/4) = (15/16) · (4/15) = 4/16 = 1/4

Kısayol: (1 − 1/2)(1 + 1/2) = 1 − 1/4 = 3/4 olduğundan pay (3/4)(5/4) = 15/16 olarak da hızlıca bulunabilir.

Tuzak: paydaki 15/16 ile paydadaki 15/4'ü görüp sonucu 4/16 yerine 16/4 = 4 sanmak; bölmede ters çevrilen kesir paydadakidir.

Doğru cevap D.

1. Verilen doğrunun eğimi: y + 3x = 2 ⇒ y = −3x + 2, eğim m₁ = −3.

2. Dik doğrunun eğimi: Dik doğrularda eğimler çarpımı −1'dir: m₂ · (−3) = −1 ⇒ m₂ = 1/3.

3. by − x = 13 doğrusunun eğimi: y = (x + 13)/b ⇒ eğim 1/b. Bu 1/3 olmalı ⇒ b = 3.

4. Noktanın doğru üzerinde olması: Doğru 3y − x = 13 olur. (a, 7) noktası yerine konursa: 3·7 − a = 13 ⇒ 21 − a = 13 ⇒ a = 8.

5. Sonuç: a + b = 8 + 3 = 11.

Tuzak: dik doğrunun eğimini −1/3 veya 3 almak (işaret ya da ters çevirme unutkanlığı) b'yi yanlış verir; dikliğin koşulu m₁ · m₂ = −1'dir.

Doğru cevap C.

x → 0 iken eˣ + 2x → 1 olduğundan ln(eˣ + 2x) → ln1 = 0 olur; ifade 0/0 belirsizliğidir. Bu nedenle L'Hôpital kuralı uygulanır.

Adım 1: İfadeyi ln(eˣ + 2x) / x biçiminde yazalım.

Adım 2: Pay ve paydanın türevini alalım:

• Payın türevi: (eˣ + 2)/(eˣ + 2x)
• Paydanın türevi: 1

Adım 3: x = 0 yazalım: (e⁰ + 2)/(e⁰ + 0) = (1 + 2)/1 = 3.

Alternatif yol: x küçükken eˣ ≈ 1 + x, dolayısıyla eˣ + 2x ≈ 1 + 3x ve ln(1 + 3x) ≈ 3x olur; 3x/x = 3.

Sonuç: limit 3'tür.

Yaygın tuzak: ln(eˣ) = x kısaltmasını toplamın içine uygulayıp ln(eˣ + 2x) = x + ln(2x) sanmak; logaritma toplama üzerine dağılmaz.

Doğru cevap B.

1. Kesişim noktaları: x + y = 3 doğrusu eksenleri (3, 0) ve (0, 3)'te keser. Bu iki nokta çember üzerindedir (3² + 0² = 9). Yani doğru, çemberin birinci bölgedeki çeyrek yayının iki ucunu birleştiren kiriştir.

2. İstenen bölge: Kirişin üstünde (orijinden uzak tarafta) ve çemberin içinde kalan bölge bir daire parçasıdır. Alanı = çeyrek daire alanı − üçgen alanı.

• Çeyrek daire: (1/4) · π · 3² = 9π/4
• O(0,0), (3,0), (0,3) dik üçgeni: (1/2) · 3 · 3 = 9/2

3. Sonuç: 9π/4 − 9/2 = 9π/4 − 18/4 = (9π − 18)/4.

Tuzak: çeyrek daire alanını π·3/4 gibi yarıçapın karesini almadan hesaplamak ya da üçgen alanını çıkarmayı unutup yalnızca 9π/4 bulmak sık yapılan hatalardır.