2023/3 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap D.

15 = 3 · 5 ve 3 ile 5 aralarında asal olduğundan sayı hem 5'e hem 3'e bölünmelidir.

5'e bölünme: Son basamak 0 ya da 5 olmalı ⇒ b ∈ {0, 5}.

3'e bölünme: Rakamlar toplamı 2 + 4 + a + 5 + b = 11 + a + b, 3'ün katı olmalı.

• b = 0 ise 11 + a ≡ 0 (mod 3) ⇒ a ∈ {1, 4, 7}
• b = 5 ise 16 + a ≡ 0 (mod 3) ⇒ a ∈ {2, 5, 8}

İki durumda bulunan en büyük değer a = 8'dir (sayı 24855; 2+4+8+5+5 = 24, 3'e bölünür ve 5 ile biter).

Tuzak: yalnızca b = 0 durumuna bakıp a = 7 cevabına gitmek; b = 5 seçeneği daha büyük bir a değerine izin verir. a = 9 ise hiçbir b için 3'e bölünmeyi sağlamaz.

Doğru cevap A.

Fonksiyonun tanımlı olması için iki koşul birlikte sağlanmalıdır.

1. Logaritmanın içi pozitif olmalı: 3x − 18 > 0 ⇒ 3x > 18 ⇒ x > 6

2. Payda sıfır olmamalı: x² − 20x + 100 = (x − 10)² ≠ 0 ⇒ x ≠ 10

İki koşulun kesişimi: x > 6 ve x ≠ 10, yani (6, ∞) \ {10}.

x = 10 değeri (6, ∞) aralığının içinde kaldığı için ayrıca çıkarılması gerekir; x = 6 ise zaten logaritma koşulu gereği aralığa dahil değildir (ln 0 tanımsızdır).

Tuzak: logaritma koşulunu 3x − 18 ≥ 0 şeklinde eşitlikli yazmak x = 6'yı yanlışlıkla dahil eder; ya da paydanın tam kare olduğunu fark etmeyip iki ayrı kök aramak zaman kaybettirir.

Doğru cevap E.

Paydalar 3, 5 ve 3 olduğundan her iki tarafı paydaların EKOK'u olan 15 ile çarpalım:

15 · (x + 1)/3 + 15 · (2x + 1)/5 = 15 · 17/3

5(x + 1) + 3(2x + 1) = 85

Parantezleri açalım:

5x + 5 + 6x + 3 = 85

11x + 8 = 85 ⇒ 11x = 77 ⇒ x = 7

Kontrol: (7 + 1)/3 = 8/3 ve (2·7 + 1)/5 = 15/5 = 3 = 9/3. Toplam 8/3 + 9/3 = 17/3 ✓.

Tuzak: 15 ile çarparken sağ tarafı çarpmayı unutmak (17/3 olarak bırakmak) ya da 3(2x + 1) açılımında sabit terimi 3 yerine 1 yazmak sık görülen işlem hatalarıdır.

Doğru cevap A.

x → 0 iken pay x(4x − 5) → 0 ve payda π sin x → 0 olduğundan 0/0 belirsizliği vardır.

İfadeyi temel limit lim (x→0) x / sin x = 1 kullanılabilecek şekilde ayıralım:

x(4x − 5) / (π sin x) = (x / sin x) · (4x − 5) / π

Şimdi her parçanın limitini alalım:

• lim (x→0) x / sin x = 1
• lim (x→0) (4x − 5)/π = −5/π

Çarpım: 1 · (−5/π) = −5/π.

Aynı sonuç L'Hôpital kuralıyla da bulunur: pay türevi 8x − 5 → −5, payda türevi π cos x → π; oran −5/π.

Tuzak: π'yi sin'in içindeymiş gibi düşünüp sin(πx) varsaymak −5/π² gibi yanlış sonuçlara götürür; burada π yalnızca sabit bir çarpandır.

Doğru cevap C.

Pay: 1/3 − 4 = 1/3 − 12/3 = −11/3

Payda: −1/6 − 7/2 = −1/6 − 21/6 = −22/6 = −11/3

Pay ile payda eşit olduğundan:

(−11/3) / (−11/3) = 1

İki negatif sayının bölümü pozitiftir; bu nedenle sonuç −1 değil +1'dir. Pay ve paydanın aynı kesre eşit çıkması, işlemi ayrıca kesir bölmesiyle yapmaya gerek bırakmaz; yine de (−11/3) · (−3/11) = 1 şeklinde doğrulanabilir.

Tuzak: paydada −1/6 − 7/2 işleminde 7/2'yi 21/6'ya genişletmeden doğrudan −8/8 gibi pay ve paydaları ayrı ayrı toplamak yanlış sonuç verir. Ayrıca işaretlere dikkat edilmezse −1 (B) şıkkına düşülebilir.

Doğru cevap C.

Adım 1 – Bugünkü toplamlar:

• Öğrencilerin yaşları toplamı: 5 · 16 = 80
• Öğretmenlerin yaşları toplamı: 3 · 30 = 90

Adım 2 – t yıl sonra: Her kişi t yaş büyür; bu yüzden grubun toplamı kişi sayısı kadar katlanarak artar.

• Öğrenciler: 80 + 5t
• Öğretmenler: 90 + 3t

Adım 3 – Eşitlik: 80 + 5t = 90 + 3t → 2t = 10 → t = 5.

Kontrol: 5 yıl sonra öğrenciler 80 + 25 = 105, öğretmenler 90 + 15 = 105; toplamlar eşittir.

Sonuç: 5 yıl sonra.

Yaygın tuzak: toplam yaşa her yıl yalnızca 1 eklemek. Toplam yaş, gruptaki kişi sayısı kadar artar; öğrenci grubu yılda 5, öğretmen grubu yılda 3 artar. Aradaki 10 yaşlık fark yılda 2 kapanır.

Doğru cevap C.

Adım 1 – Yüksek lisanslı erkekler: 72 · 25/100 = 18 kişi.

Adım 2 – Yüksek lisanslı kadınlar: 48 · 50/100 = 24 kişi.

Adım 3 – Toplam: 18 + 24 = 42 kişi yüksek lisans derecesine sahiptir.

Adım 4 – Oran: Tüm çalışan sayısı 72 + 48 = 120'dir. 42/120 = 0,35 → %35.

Yaygın tuzak: iki yüzdenin basit ortalamasını almak ((25 + 50)/2 = 37,5). Gruplar eşit büyüklükte olmadığı için ağırlıklı ortalama alınmalıdır; erkekler daha kalabalık olduğundan sonuç %25'e daha yakın çıkar.

Doğru cevap D.

Adım 1 – Eğim: m = (0 − 3)/(−2 − 0) = (−3)/(−2) = 3/2.

Adım 2 – Doğru denklemi: Doğru y eksenini (0, 3) noktasında kestiği için y = (3/2)x + 3.

Adım 3 – x = 4 ile kesişim: y = (3/2) · 4 + 3 = 6 + 3 = 9.

Kesim noktası (4, 9) olduğundan ordinat 9'dur.

Kontrol: (−2, 0) için y = (3/2)(−2) + 3 = 0 ✓.

Yaygın tuzak: eğimi Δx/Δy olarak ters hesaplamak (2/3 bulunur ve sonuç 17/3 çıkar) ya da ordinat yerine apsisi (4) cevap sanmak. Ordinat, noktanın y koordinatıdır.