Soru 1 · 2024/1 · Matematik
y = e^(sin(x²)) olmak üzere dy/dx(√π) türevinin değeri kaçtır?
Çözümü göster — doğru cevap A
Doğru cevap A.
İç içe fonksiyonlar olduğu için zincir kuralı uygulanır: y = e^u, u = sin v, v = x².
dy/dx = e^(sin(x²)) · cos(x²) · 2x
Şimdi x = √π yazalım; bu durumda x² = π olur:
- sin(π) = 0 ⇒ e^(sin π) = e⁰ = 1
- cos(π) = −1
- 2x = 2√π
dy/dx(√π) = 1 · (−1) · 2√π = −2√π
Tuzak: e üssünün türevini alırken iç fonksiyonun türevini (cos(x²) · 2x) yazmayı unutmak ya da sin π = 0 olduğu için tüm ifadenin sıfır olduğunu sanmak. Sıfır olan üstür; e⁰ = 1 çarpan olarak kalır.
Soru 2 · 2024/1 · Matematik
a bir reel sayı olmak üzere f: ℝ → ℝ sürekli fonksiyonu
f(x) = sin(ax)/(3x), x < 0
f(x) = 7x + 2, x ≥ 0
ile verilmektedir. Buna göre a kaçtır?
Çözümü göster — doğru cevap A
Doğru cevap A.
Parçalı fonksiyonun ℝ üzerinde sürekli olması için tek kritik nokta, tanımın değiştiği x = 0'dır. Bu noktada soldan limit, sağdan limit ve fonksiyon değeri eşit olmalıdır.
Fonksiyon değeri (ve sağdan limit): f(0) = 7·0 + 2 = 2
Soldan limit: lim (x→0⁻) sin(ax)/(3x) = (1/3) · lim sin(ax)/x = (1/3) · a = a/3
(Temel limit: lim (x→0) sin(ax)/x = a.)
Süreklilik koşulu: a/3 = 2 ⇒ a = 6.
Tuzak: sin(ax)/(3x) limitini a/3 yerine 3a ya da a olarak almak, 2 değerini veren a'yı 2/3 veya 2 gibi seçeneklerde olmayan sayılara götürür; paydadaki 3 katsayısı sonuca bölen olarak girer.
Soru 3 · 2024/1 · Matematik
a, b ve c pozitif tamsayılar olmak üzere
a(b + 3) = 11
(b − 3)(c − a) = 25
eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
Çözümü göster — doğru cevap C
Doğru cevap C.
1. İlk eşitlik: a(b + 3) = 11 ve 11 asal sayıdır. Pozitif tamsayı çarpanları yalnızca 1 · 11'dir.
b pozitif olduğundan b + 3 ≥ 4; dolayısıyla b + 3 = 1 olamaz. Tek seçenek: a = 1, b + 3 = 11 ⇒ b = 8.
2. İkinci eşitlik: (b − 3)(c − a) = 25 ⇒ (8 − 3)(c − 1) = 25 ⇒ 5(c − 1) = 25 ⇒ c − 1 = 5 ⇒ c = 6.
3. Toplam: a + b + c = 1 + 8 + 6 = 15.
Kontrol: 1 · (8 + 3) = 11 ✓, (8 − 3)(6 − 1) = 5 · 5 = 25 ✓.
Tuzak: 11'in asal olduğunu kullanmadan deneme yanılmaya girişmek zaman kaybettirir; asal sayının çarpanlara ayrılışının tekliği çözümün anahtarıdır.
Soru 4 · 2024/1 · Matematik
(1/3 − 1/4 + 1/2) : ((5/2)/2 + 2/(1/2)) işleminin sonucu kaçtır?
- A)1/9
- B)1/6
- C)2/9
- D)1/3
- E)4/9
Çözümü göster — doğru cevap A
Doğru cevap A.
Birinci parantez: Paydaları 12'de eşitleyelim: 1/3 − 1/4 + 1/2 = 4/12 − 3/12 + 6/12 = 7/12
İkinci parantez:
- (5/2)/2 = 5/4
- 2/(1/2) = 2 · 2 = 4
- Toplam: 5/4 + 4 = 5/4 + 16/4 = 21/4
Bölme: 7/12 : 21/4 = (7/12) · (4/21) = 28/252 = 1/9
(Sadeleştirerek: 7/21 = 1/3 ve 4/12 = 1/3, çarpım 1/9.)
Tuzak: merdivenli kesirlerde (5/2)/2 ifadesini 5/(2/2) = 5 gibi okumak ya da 2/(1/2)'yi 1 sanmak ikinci parantezi bozar; ana kesir çizgisinin hangisi olduğuna dikkat edilmelidir.
Soru 5 · 2024/1 · Matematik
f: ℝ → ℝ sabit fonksiyonu f(x) = (a − 2b)x² + (b − 4)x + 4a + 5b − 7 ile tanımlanıyor. Buna göre, f(2024) değeri kaçtır?
Çözümü göster — doğru cevap D
Doğru cevap D.
Bir polinom fonksiyonunun sabit olması için x'e bağlı tüm terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.
- x'in katsayısı: b − 4 = 0 ⇒ b = 4
- x²'nin katsayısı: a − 2b = 0 ⇒ a = 2·4 ⇒ a = 8
Bu durumda fonksiyon yalnızca sabit terimden oluşur:
f(x) = 4a + 5b − 7 = 4·8 + 5·4 − 7 = 32 + 20 − 7 = 45
Fonksiyon sabit olduğu için hangi x değeri yazılırsa yazılsın sonuç değişmez: f(2024) = 45.
Tuzak: 2024'ü doğrudan x yerine koyup büyük sayılarla uğraşmak gereksizdir; önce katsayıları sıfırlayarak a ve b bulunmalıdır. Sabit terimdeki −7'yi unutmak 52 gibi seçeneklerde olmayan bir değer verir.
Soru 6 · 2024/1 · Matematik
Ahmet 360 sayfalık bir kitabı 3 haftada okumayı planlamıştır. İlk 5 gün kitabın 1/3'ünü okumuştur. Buna göre, Ahmet kitabın kalanını günde ortalama kaç sayfa okuyarak planladığı günden 4 gün önce tamamlar?
Çözümü göster — doğru cevap B
Doğru cevap B.
Adım 1 – Plan süresi: 3 hafta = 21 gün.
Adım 2 – Okunan kısım: İlk 5 günde 360 · 1/3 = 120 sayfa okunmuştur. Kalan: 360 − 120 = 240 sayfa.
Adım 3 – Hedef bitiş: Planlanandan 4 gün önce bitirmek, kitabı 21 − 4 = 17. günün sonunda bitirmek demektir.
Adım 4 – Kalan gün: 17 − 5 = 12 gün.
Adım 5 – Günlük ortalama: 240 / 12 = 20 sayfa.
Yaygın tuzaklar: 3 haftayı gün cinsine çevirmeyi unutmak, ilk 5 günü kalan süreden düşmemek (240/17 gibi) ya da 4 günü eklemek (240/20 = 12). Kalan iş ve kalan süre birlikte düşünülmelidir.
Soru 7 · 2024/1 · Matematik
(3a − 1, 4b + 5) ve (a + 4, −7) noktalarından geçen doğru Ox eksenine paraleldir. Bu doğrunun y = x doğrusu ile kesim noktası (3a − 1, 4b + 5) noktasıdır. Buna göre, a + b toplamı kaçtır?
Çözümü göster — doğru cevap C
Doğru cevap C.
Adım 1 – Ox eksenine paralellik: Ox eksenine paralel bir doğru üzerindeki tüm noktaların ordinatları eşittir. Bu yüzden 4b + 5 = −7 → 4b = −12 → b = −3.
Adım 2 – y = x ile kesişim: Doğru y = −7 doğrusudur. y = x ile kesiştiği nokta (−7, −7)'dir. Bu nokta (3a − 1, 4b + 5) olarak verildiğinden 3a − 1 = −7 → 3a = −6 → a = −2.
Adım 3 – Toplam: a + b = −2 + (−3) = −5.
Kontrol: noktalar (−7, −7) ve (2, −7); ikisinin de ordinatı −7'dir ✓.
Yaygın tuzak: Ox eksenine paralel doğruyu apsisleri eşit sanmak. Apsislerin eşit olması Oy eksenine paralel (dikey) doğruyu verir.
Soru 8 · 2024/1 · Matematik
Ahmet'in cebindeki paranın %20 eksiği, Orhan'ın cebindeki paranın %60 fazlasına eşittir. Ahmet 2.000 ₺ harcarsa Ahmet ile Orhan'ın cebindeki paraların toplamı 10.000 ₺ olacaktır. Buna göre, başlangıçta Ahmet'in cebindeki para kaç ₺'dir?
- A)5000
- B)6000
- C)7000
- D)8000
- E)9000
Çözümü göster — doğru cevap D
Doğru cevap D.
Ahmet'in parası A, Orhan'ın parası O olsun.
Adım 1 – Yüzde ilişkisi: A'nın %20 eksiği 0,8A; O'nun %60 fazlası 1,6O'dur. 0,8A = 1,6O → A = 2O.
Adım 2 – Harcama sonrası toplam: (A − 2.000) + O = 10.000 → A + O = 12.000.
Adım 3 – Yerine koyma: 2O + O = 12.000 → 3O = 12.000 → O = 4.000 ₺. Buradan A = 8.000 ₺.
Kontrol: 8.000'in %20 eksiği 6.400; 4.000'in %60 fazlası 6.400 ✓. Harcama sonrası 6.000 + 4.000 = 10.000 ✓.
Sonuç: 8.000 ₺.
Yaygın tuzak: harcanan 2.000 ₺'yi toplamdan düşmek yerine eklemeyi unutmak ya da Orhan'ın parasını (4.000) cevap olarak işaretlemek.