2024/2 SGS Matematik Soruları ve Çözümleri

Doğru cevap E.

Verilen bilgiyi sadeleştirelim: 2c her zaman çifttir, dolayısıyla 3a + b çift olmalıdır. 3a ile a aynı teklik-çiftliğe sahip olduğundan a + b çifttir; yani a ve b aynı paritededir (ikisi de tek ya da ikisi de çift). c hakkında hiçbir bilgi yoktur.

I. 2a + c: 2a çift, sonuç c'nin paritesine bağlıdır. c = 1 alınırsa tek olur ⇒ kesin değil.

II. a + b: Yukarıda gösterildiği gibi kesinlikle çift.

III. ab + a = a(b + 1):

• a, b çift ise a çift ⇒ çarpım çift.
• a, b tek ise b + 1 çift ⇒ çarpım çift.

Her durumda kesinlikle çift.

Sonuç: II ve III.

Tuzak: 2a'nın çift olduğunu görüp I'i de çift sanmak; c'nin paritesi verilmediğinden I güvenilir değildir.

Doğru cevap E.

Merdivenli (sürekli) kesirler en alttan yukarıya doğru çözülür.

• 1 + 2/3 = 5/3
• 1/(5/3) = 3/5
• 1 + 3/5 = 8/5
• 1/(8/5) = 5/8
• 1 + 5/8 = 13/8 ⇒ x = 13/8

Her adımda “1 bölü kesir” işlemi kesri ters çevirir; bu yüzden işlem aslında art arda ters çevirme ve 1 ekleme adımlarından oluşur.

İstenen: 16x = 16 · 13/8 = 2 · 13 = 26.

Tuzak: kesri yukarıdan aşağıya çözmeye çalışmak ya da bir adımda ters çevirmeyi unutmak (örneğin 1/(5/3)'ü 5/3 bırakmak) x'i yanlış verir. 16x yerine x'in kendisini (13/8) aramak da seçeneklerde karşılığı olmadığı için şaşırtabilir.

Doğru cevap D.

f(1)'i yalnız bırakmak için x'e, fonksiyonların içlerini 1 ve −4 yapan değerler verip iki denklem kuralım.

x = 0: f(1 − 0) + 3f(0 − 4) = 0 + 1 ⇒ f(1) + 3f(−4) = 1

x = 5: f(1 − 5) + 3f(5 − 4) = 25 + 1 ⇒ f(−4) + 3f(1) = 26

f(1) = u, f(−4) = v diyelim:

• u + 3v = 1
• 3u + v = 26

İkinci denklemi 3 ile çarpalım: 9u + 3v = 78. Birinciyi çıkaralım: 8u = 77 ⇒ u = 77/8.

(v = 26 − 3·77/8 = (208 − 231)/8 = −23/8; kontrol: 77/8 + 3·(−23/8) = 8/8 = 1 ✓.)

Tuzak: yalnızca x = 0 yazıp f(−4)'ü bilinmeyen olarak bırakmak çözümü tıkar; ikinci bir x değeriyle f(1) ve f(−4)'ün rollerini değiştiren denklem kurulmalıdır. −23/8 değeri f(−4)'tür, f(1) değildir.

Doğru cevap C.

Başlangıçtaki kişi sayısına n diyelim.

• Toplam ceviz: 16n
• 5 kişi vazgeçince kalan kişi: n − 5
• Kalanların her biri 16 + 8 = 24 ceviz alıyor.

Toplam ceviz değişmediğine göre:

24(n − 5) = 16n 24n − 120 = 16n 8n = 120 ⇒ n = 15

Kontrol: toplam ceviz 16 · 15 = 240; 10 kişiye bölününce 240 / 10 = 24 = 16 + 8 ✓.

Tuzak: kalanların aldığı miktarı 24 yerine 8 almak ("8'er tane fazla" ifadesini "8'er tane" okumak) ya da vazgeçen 5 kişinin payını 5 · 16 = 80 bulup 80/8 = 10 kişiye bölerek kalan kişi sayısını (10) başlangıçtaki sayı sanmak sık yapılan hatalardır.

Doğru cevap C.

A iş yerindeki çalışan sayısına a, B'dekine b diyelim.

• A'daki kadınlar: 0,25a
• B'deki kadınlar: 0,50b
• Toplam kadın: tüm çalışanların %40'ı ⇒ 0,40(a + b)

Denklem: 0,25a + 0,50b = 0,40a + 0,40b

b'li terimleri bir tarafa, a'lı terimleri diğer tarafa toplayalım: 0,10b = 0,15a ⇒ a/b = 0,10/0,15 = 2/3

Kontrol: a = 200, b = 300 alınırsa kadınlar 50 + 150 = 200; toplam 500 çalışanın %40'ı = 200 ✓.

Kısa yol (karışım/ağırlıklı ortalama): %40, %25'e 15 puan, %50'ye 10 puan uzaktır; miktarlar uzaklıklarla ters orantılıdır ⇒ a : b = 10 : 15 = 2 : 3.

Tuzak: oranı ters kurup b/a = 3/2 bulmak ya da 3/5 gibi pay/toplam oranı ile karıştırmak.

Doğru cevap C.

Adım 1 – Ox eksenine diklik: Ox eksenine dik bir doğru dikey doğrudur (x = sabit). Bu doğru üzerindeki noktaların apsisleri eşittir: 4a − 8 = 7 − a → 5a = 15 → a = 3.

Adım 2 – Noktalar:

• Birinci nokta: (4·3 − 8, 2·3 + 4) = (4, 10)
• İkinci nokta: (7 − 3, 6·3 − 1) = (4, 17)

Adım 3 – Uzaklık: Apsisler aynı olduğundan uzaklık ordinatlar farkının mutlak değeridir: |17 − 10| = 7 birim.

Yaygın tuzak: "Ox eksenine dik" ifadesini "Ox eksenine paralel" gibi yorumlayıp ordinatları eşitlemek. O durumda 2a + 4 = 6a − 1 → a = 5/4 bulunur ve sonuç şıklarla uyuşmaz. Dik doğru dikeydir; apsisler eşitlenir.

Doğru cevap B.

Bölümün türevi kuralı: (u/v)' = (u'v − uv')/v²

• u = x − 1 ⇒ u' = 1
• v = 1 + x² ⇒ v' = 2x

dy/dx = [1 · (1 + x²) − (x − 1) · 2x] / (1 + x²)²

x = 1 için:

• Pay: 1 · (1 + 1) − (1 − 1) · 2 = 2 − 0 = 2
• Payda: (1 + 1)² = 4

dy/dx(1) = 2/4 = 1/2

Açık hâli: pay 1 + x² − 2x² + 2x = −x² + 2x + 1; x = 1'de −1 + 2 + 1 = 2, sonuç yine 2/4 = 1/2.

Tuzak: x = 1'de pay (x − 1) sıfır olduğu için türevin de sıfır olduğunu sanmak (A şıkkı). Fonksiyonun değerinin sıfır olması, türevinin sıfır olduğu anlamına gelmez.

Doğru cevap E.

Kısmi integrasyon uygulayalım: u = arctan x, dv = x dx.

• du = dx/(1 + x²)
• v için x²/2 yerine (x² + 1)/2 seçmek (sabit eklemek serbesttir) işlemi kolaylaştırır.

∫ x arctan x dx = (x² + 1)/2 · arctan x − ∫ (x² + 1)/2 · 1/(1 + x²) dx = (x² + 1)/2 · arctan x − ∫ 1/2 dx = (x² + 1)/2 · arctan x − x/2

Sınırları uygulayalım:

• x = 1: (2/2) · (π/4) − 1/2 = π/4 − 1/2
• x = 0: (1/2) · 0 − 0 = 0

Sonuç: π/4 − 1/2 = (π − 2)/4 ≈ 0,285.

Mantık kontrolü: [0, 1] aralığında x arctan x ≥ 0 olduğundan integral pozitif olmalıdır; bu A, B, C şıklarını eler.

Tuzak: v = x²/2 alıp kalan ∫ x²/(2(1 + x²)) dx integralinde 1 − 1/(1 + x²) ayrıştırmasını unutmak.